2022-浙江卷-11 填-秦九韶面积

本题导读

本题考查三角形的面积计算，以及代数式的求值。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 $S=\sqrt{\frac{1}{4}[c^2{a}^2-{(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})}^2]}$，其中 $a$，$b$，$c$ 是三角形的三边，$S$ 是三角形的面积．设某三角形的三边 $a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c=2$，则该三角形的面积 $S=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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本题是一道“新定义公式”的信息处理题。题目已经直接给出了面积计算公式，已知条件也给出了 $a,b,c$ 的具体数值。

解题的核心在于：细心代入，准确计算。

为了避免长算式一次性代入容易导致的符号和平方错误，建议采用“分步计算、先算平方、再算局部、最后综合”的策略。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{23}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：准备数据（先算出各边的平方）

已知 $a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c=2$。

可得：

$a^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$

$b^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$

$c^2=2^2=4$

第二步：计算公式中的局部组块

公式为：$S=\sqrt{\frac{1}{4}[c^2{a}^2-{(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})}^2]}$

我们把括号内的部分拆解计算：

1. 计算乘积项 $c^2{a}^2$：

   $c^2{a}^2=4\times 2=8$

2. 计算分数项 $\frac{c^2+a^2-b^2}{2}$：

   $\frac{c^2+a^2-b^2}{2}=\frac{4+2-3}{2}=\frac{3}{2}$

第三步：代入总公式，得出结果

将上述算好的局部组块代入面积公式 $S$：

$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[8-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right]}$

$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[8-\frac{9}{4}\right]}$

通分计算括号内的减法：

$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[\frac{32}{4}-\frac{9}{4}\right]}$

$S=\sqrt{\frac{1}{4}\times \frac{23}{4}}$

$S=\sqrt{\frac{23}{16}}$

开平方得：

$S=\frac{\sqrt{23}}{4}$

故答案为：$\frac{\sqrt{23}}{4}$．

虽然高考中这只是一道代入计算题，但了解秦九韶公式背后的现代数学本质，对理解高中三角函数体系大有裨益。

1. 秦九韶公式与“余弦定理”的奇妙联系

仔细观察秦九韶公式中的这一项：$\frac{c^2+a^2-b^2}{2}$。

根据高中所学的余弦定理的变形公式，我们知道：$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$。

所以，$\frac{c^2+a^2-b^2}{2}=ca\cos B$。

将其代入秦九韶的公式内部：

c^2a^2 - \left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2$$$$= c^2a^2 - (ca \cos B)^2$$$$= c^2a^2 - c^2a^2 \cos^2 B

提取公因式：

$=c^2{a}^2(1-{\cos }^{2}B)$

根据同角三角函数基本关系 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$，上式变为：

$=c^2{a}^2{\sin }^{2}B$

最后代入面积公式 $S$：

$S=\sqrt{\frac{1}{4}{c}^2{a}^2{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}ca\sin B$

这恰恰就是我们高中最熟知的三角形正弦面积公式！

我国南宋时期的秦九韶在《数书九章》中提出此公式，比西方早了数百年，体现了较高的代数造诣。

2. 与“海伦公式”的等价性

西方著名的求面积公式是海伦公式（Heron’s formula）：

设 $p=\frac{a+b+c}{2}$（半周长），则 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。

在代数层面上，海伦公式和秦九韶的三斜求积术是完全等价的，只是形式不同（秦九韶公式更适合边长带有根号的无理数计算，避免了开方的嵌套，正如本题一样）。

本题是一道非常好的数学文化背景题，以我国古代数学名著内容为载体。题目本身没有设置思维障碍，纯粹考查学生的阅读理解能力和式子代换、无理数运算的基本功。由于放在填空题的第一题，起到了很好的稳定考生情绪的作用，属于必拿的基础分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 带入长公式的计算技巧：面对结构复杂的公式，切忌心急将所有数据一股脑塞进去，这样极易造成书写混乱。应当先化简已知条件（如求平方），再把大公式拆成几个小模块（分子、分母、乘积项等）分别计算，最后再拼装，这样能实现 $100\%$ 的正确率。

2. 数学文化的素养积累：平时做题时，遇到带有数学文化背景的公式（如杨辉三角、祖暅原理等），不妨多问一句“用现代数学知识该如何解释？”，这能极大地开阔数学视野，也是新高考重点考查的核心素养方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

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• 11.04 三角形面积公式

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