2022-浙江卷-14 填-分段函数求值

本题导读

本题考查分段函数求值，以及函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+2,& x⩽1\\ x+\frac{1}{x}-1,& x>1\end{array}$，则 $f(f(\frac{1}{2}))=$ $\underline{}$；若当 $x\in [a,b]$ 时，$1⩽f(x)⩽3$，则 $b-a$ 的最大值是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题分为两问，层层递进：

第一问（嵌套求值）：考查分段函数的基础应用。解题关键是**“由内向外，准确定位”。先计算内层 $f(\frac{1}{2})$，判断其值所属的区间，再代入对应的外层函数解析式中即可。 第二问（区间最大值）：考查函数图像的综合分析与不等式的解法。 破题眼：遇到“在区间 $[a,b]$ 上满足 $m⩽f(x)⩽n$ 求区间最大长度”的问题，核心策略是数形结合与寻找临界点**。

1. 画草图：分段画出 $x⩽1$ 时的开口向下抛物线，以及 $x>1$ 时的变形“对勾函数”。

2. 划界限：在坐标系中画出两条水平直线 $y=1$ 和 $y=3$。

3. 找交点：找到这两条直线与函数图像的所有交点横坐标，这些横坐标就是区间的“候选边界”。选择满足条件的最左侧端点为 $a$，最右侧端点为 $b$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{37}{28}$

✍【详细解析】

Abstract

第一空：求复合函数值 $f(f(\frac{1}{2}))$

第一步：计算内层函数 $f(\frac{1}{2})$。

因为 $\frac{1}{2}⩽1$，所以代入第一段解析式 $f(x)=-x^2+2$：

$f\left(\frac{1}{2}\right)=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2=-\frac{1}{4}+2=\frac{7}{4}$

第二步：计算外层函数 $f(\frac{7}{4})$。

因为 $\frac{7}{4}>1$，所以代入第二段解析式 $f(x)=x+\frac{1}{x}-1$：

$f\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{1}{\frac{7}{4}}-1=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1$

通分计算：

$=\frac{49}{28}+\frac{16}{28}-\frac{28}{28}=\frac{37}{28}$

第一空答案为：$\frac{37}{28}$

第二空：求 $b-a$ 的最大值

第一步：分析函数在各段的单调性与值域（数形结合）

1. 当 $x⩽1$ 时，$f(x)=-x^2+2$。

   • 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为 $x=0$。

   • 在 $x\in (-\infty ,0]$ 上单调递增，在 $[0,1]$ 上单调递减。

   • 顶点（最大值）为 $f(0)=2$。端点值为 $f(1)=1$。

2. 当 $x>1$ 时，$f(x)=x+\frac{1}{x}-1$。

   • 包含经典“对勾函数” $y=x+\frac{1}{x}$ 的结构。

   • 我们知道 $y=x+\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上是严格单调递增的。

   • 趋近点：当 $x\to 1^{+}$ 时，$f(x)\to 1+1-1=1$。

第二步：联立边界方程，寻找极限端点

题目要求 $1⩽f(x)⩽3$，我们分别寻找使其等于 1 和 3 的临界 $x$ 值：

① 找下边界（解 $f(x)=1$）：

• 左段 ($x⩽1$)：$-x^2+2=1⟹x^2=1⟹x=1$ 或 $x=-1$。

• 右段 ($x>1$)：$x+\frac{1}{x}-1=1⟹x+\frac{1}{x}=2⟹x=1$（不在该段定义域内，舍去）。

  结论：使函数值恰好为1的自变量有 $x=-1$ 和 $x=1$。

② 找上边界（解 $f(x)=3$）：

• 左段 ($x⩽1$)：$-x^2+2=3⟹x^2=-1$（无实数解，说明左边抛物线最高只到 2，达不到 3）。

• 右段 ($x>1$)：$x+\frac{1}{x}-1=3⟹x+\frac{1}{x}=4⟹x^2-4x+1=0$。

  利用求根公式：$x=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=2\pm \sqrt{3}$。

  因为 $x>1$，且 $2-\sqrt{3}\approx 0.268<1$（舍去），所以保留 $x=2+\sqrt{3}$。

  结论：使函数值恰好为3的自变量只有 $x=2+\sqrt{3}$。

第三步：确定最大连续区间

综合上述分析，在区间 $[-1,2+\sqrt{3}]$ 内：

• 当 $x\in [-1,1]$ 时，$f(x)$ 图像从 $(-1,1)$ 升到顶点 $(0,2)$，再降到 $(1,1)$，此时 $f(x)\in [1,2]$，完全符合 $1⩽f(x)⩽3$。

• 当 $x\in (1,2+\sqrt{3}]$ 时，$f(x)$ 单调递增，图像从 $(1,1)$ 的空心点上升到实心点 $(2+\sqrt{3},3)$，此时 $f(x)\in (1,3]$，也完全符合。

  由于区间连续且未发生断裂，因此满足条件的最宽广区间即为 $[a,b]=[-1,2+\sqrt{3}]$。

  所以，$b-a$ 的最大值为：

  $(2+\sqrt{3})-(-1)=3+\sqrt{3}$

第二空答案为：$3+\sqrt{3}$

1. 对勾函数的快速求解技巧

在处理第二段 $f(x)=x+\frac{1}{x}-1(x>1)$ 时，熟悉“对勾函数” $g(x)=x+\frac{k}{x}(k>0)$ 的同学可以实现“秒判断”。

对勾函数的拐点（最低或最高点）发生在其导数 $g^{\prime }(x)=1-\frac{k}{x^2}=0$ 处，即 $x=\sqrt{k}$。

本题中 $k=1$，拐点在 $x=1$。

因为定义域限制了 $x>1$，这说明截取的是对勾函数最低点右侧的单调递增分支。这一性质帮助我们省去了复杂的求导判断，直接确认了随着 $x$ 增大，$f(x)$ 必然从 $1$ 稳步上升，从而确保 $x=2+\sqrt{3}$ 就是唯一的最右边界。

2. “最大值区间”的几何直观

“当 $x\in [a,b]$ 时，$1⩽f(x)⩽3$，求 $b-a$ 的最大值”，其几何操作可以具象化为：

手里拿着一把宽度可以伸缩的尺子，放在直线 $y=1$ 和 $y=3$ 之间的水平通道内。尺子的左右两端必须完全落在这个通道内部的函数图像上。你要做的就是把这把尺子“拉到最长”。

显然，尺子的最左端顶在了抛物线穿过 $y=1$ 的最左侧交点 $(-1,1)$，而最右端顶在了对勾函数穿过 $y=3$ 的交点 $(2+\sqrt{3},3)$。期间没有任何一段函数图象“掉出”这个通道。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题是一道非常经典的中档题，对考生的基本功要求较高。

• 考点提炼：主要考查了分段函数求值、基本初等函数（二次函数、对勾函数）的单调性与值域、一元二次不等式/分式不等式的解法，以及核心的“数形结合”与“临界点”思想。

• 易错点提示 1（漏解下界）：很多同学在找下边界时，只想到让 $x⩾0$，解出 $x=1$ 作为左边界，忽略了抛物线的左半支还可以延伸到 $x=-1$，导致得出错误答案 $2+\sqrt{3}-1=1+\sqrt{3}$。

• 易错点提示 2（代数变形）：解分式方程 $x+\frac{1}{x}=4$ 时，转化为一元二次方程 $x^2-4x+1=0$ 后，忘记对两根进行定义域 $x>1$ 的取舍。

• 复习建议：针对分段函数，强烈建议在草稿纸上画出“草图”。即使草图不精确，也能极大地帮助大脑建立直观认识，防止遗漏类似于 $x=-1$ 这样的“隐蔽边界”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2014-辽宁卷文-10 单-分段函数不等式