2022-浙江卷-15 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$，则 $P(\xi =2)=$ $\underline{}$，$E(\xi )=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望。

1. 确定样本空间：从 7 张卡片中任取 3 张，无放回抽样，基本事件总数为 $C_7^3$。

2. 明确随机变量的取值：要取 3 张卡片，卡片最大数字是 6。所以抽取的 3 张卡片中，最小的数字 $\xi$ 最大只能是 4（如果是 5，剩下的卡片只有一张 6，凑不够 3 张）。因此 $\xi$ 的可能取值为 1, 2, 3, 4。

3. 逐一求概率（难点在于有重复数字）：

   • 集合中有两个“2”，这是分类计数的易错点。

   • “最小值为 2”意味着：绝对不能抽到 1；必须抽到至少一个 2；剩下的卡片从大于 2 的数字中抽。需要针对抽到“1个2”和“2个2”进行分类讨论。

4. 计算期望：列出分布列后，利用公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算即可。

✅【答案】

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$\frac{16}{35}$；$\frac{12}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求总基本事件数

从 7 张卡片中任取 3 张，总的抽取方法数为 $C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$。

第二步：求 $\xi$ 各个取值对应的概率

卡片集合为 $\{1,2,2,3,4,5,6\}$。设所取卡片最小值为 $\xi$，则 $\xi \in \{1,2,3,4\}$。

1. 当 $\xi =1$ 时（最小值为 1）：

   必须抽取卡片“1”（共1张），另外 2 张从剩余的 6 张卡片中任意抽取。

   $P(\xi =1)=\frac{C_1^1\cdot C_6^2}{C_7^3}=\frac{1\times 15}{35}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$

2. 当 $\xi =2$ 时（最小值为 2）：

   不能抽取“1”，必须抽取“2”（共有 2 张“2”），且另外的卡片从大于 2 的集合 $\{3,4,5,6\}$（共 4 张）中抽取。此时分为两种情况：

   • 恰好抽到 1 张“2”：选法为 $C_2^1\cdot C_4^2=2\times 6=12$ 种。

   • 恰好抽到 2 张“2”：选法为 $C_2^2\cdot C_4^1=1\times 4=4$ 种。

     $P(\xi =2)=\frac{C_2^1\cdot C_4^2+C_2^2\cdot C_4^1}{C_7^3}=\frac{12+4}{35}=\frac{16}{35}$

     (第一空答案得出)

3. 当 $\xi =3$ 时（最小值为 3）：

   不能抽取“1”和“2”，必须抽取“3”（共1张），另外 2 张必须从大于 3 的集合 $\{4,5,6\}$（共 3 张）中抽取。

   $P(\xi =3)=\frac{C_1^1\cdot C_3^2}{C_7^3}=\frac{1\times 3}{35}=\frac{3}{35}$

4. 当 $\xi =4$ 时（最小值为 4）：

   只能正好抽到大于等于 4 的三张卡片，即 $\{4,5,6\}$ 全被抽中。

   $P(\xi =4)=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$

(检验：$\frac{15}{35}+\frac{16}{35}+\frac{3}{35}+\frac{1}{35}=\frac{35}{35}=1$，分布列无误。)

第三步：计算数学期望 $E(\xi )$

根据期望公式：

E(\xi) = 1 \times P(\xi=1) + 2 \times P(\xi=2) + 3 \times P(\xi=3) + 4 \times P(\xi=4)$$$$E(\xi) = 1 \times \frac{15}{35} + 2 \times \frac{16}{35} + 3 \times \frac{3}{35} + 4 \times \frac{1}{35}$$$$E(\xi) = \frac{15 + 32 + 9 + 4}{35} = \frac{60}{35} = \frac{12}{7}

(第二空答案得出)

故答案为：$\frac{16}{35}$；$\frac{12}{7}$．

针对这种“从一堆数字中取若干个，求最小值/最大值的期望”的问题，可以直接利用正整数离散型随机变量的**尾概率公式（也叫生存函数求期望公式）**实现快速求解。

定理：若随机变量 $X$ 只取正整数，则 $E(X)={\sum }_{k=1}^{n}P(X⩾k)$。

将本题代入该公式：

$\xi$ 的最大可能取值为 4，所以 $E(\xi )=P(\xi ⩾1)+P(\xi ⩾2)+P(\xi ⩾3)+P(\xi ⩾4)$。

这种方法的好处是：不需要精细地讨论“正好抽到几个2”，只需把不符合条件的卡片剔除即可！

• $P(\xi ⩾1)=1$ （最小值必然 $⩾1$）

• $P(\xi ⩾2)$：意味着没抽到“1”。即从剩下的 6 张牌 $\{2,2,3,4,5,6\}$ 中任取 3 张。概率为 $\frac{C_6^3}{C_7^3}=\frac{20}{35}$。

• $P(\xi ⩾3)$：意味着没抽到“1”和“2”。即从剩下的 4 张牌 $\{3,4,5,6\}$ 中任取 3 张。概率为 $\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$。

• $P(\xi ⩾4)$：意味着没抽到“1”、“2”和“3”。即只能从剩下的 3 张牌 $\{4,5,6\}$ 中任取 3 张。概率为 $\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$。

直接相加得期望：

$E(\xi )=1+\frac{20}{35}+\frac{4}{35}+\frac{1}{35}=\frac{35+20+4+1}{35}=\frac{60}{35}=\frac{12}{7}$

利用此法，可以完全避免 $P(\xi =2)$ 时由于有两个“2”导致的繁琐分类讨论，既快又准！

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 考点提炼：古典概型的组合数计算、离散型随机变量及其分布列的严谨构造。

• 易错点提示：

  1. 忽视重复元素：很多同学在计算 $P(\xi =2)$ 时，习惯性地写成 $\frac{C_1^1\cdot C_4^2}{C_7^3}$，忘记了集合中有两张“2”，必须把所有的 2 都纳入考量进行分类（一张 2 或两张 2）。在概率计算中，即使长得一样的卡片，也被视为不同个体（如 $2_A$ 和 $2_B$）。

  2. 分布列未校验：在考试中，求完分布列的所有概率后，强烈建议在草稿纸上把它们加起来看是否等于 1。如果本题算漏了“取到两个2”的情况，总和就不是 1，能立刻发现错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷理-16
• 2016-天津卷理-16
• 2006-山东卷理-20 解-互斥事件的概率加法公式