2022-甲卷文-05 单-三角函数图象平移

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换，以及正弦函数的对称性与偶函数性质。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 将函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)(\omega >0)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度后得到曲线 $C$，若 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $\omega$ 的最小值为 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 根据“左加右减”原则，用 $x+\frac{\pi }{2}$ 替换 $x$，写出平移后的函数解析式 $g(x)$。
2. 曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称，说明 $g(x)$ 为偶函数，其初相须满足 $k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$。
3. 结合 $\omega >0$ 求出使 $\omega$ 取最小值的整数 $k$ 的值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

将 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度，得到曲线 $C$ 对应的函数解析式为： $g(x)=\sin \left[\omega \left(x+\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{3}\right]=\sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)$

因为曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称，即 $g(x)$ 为偶函数，所以： $\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

两边同除以 $\pi$ 并化简： $\frac{\omega }{2}=k+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=k+\frac{1}{6}$ 解得： $\omega =2k+\frac{1}{3}(k\in \mathbf{Z})$

因为 $\omega >0$，令 $k=0$，可得 $\omega$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$。

故选：C

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：$\sin (\omega x+\phi )$ 的平移变换（是对自变量 $x$ 作用，平移后为 $\omega (x+\Delta x)$）及对称轴（$x=0$ 为对称轴则初相为 $k\pi +\frac{\pi }{2}$）。
2. 核心方法：图象变换公式结合三角函数对称轴方程。
3. 避坑指南：平移变换时容易错写成 $\omega x+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$；注意正弦函数对称轴对应的相位值是 $k\pi +\frac{\pi }{2}$ 而非 $2k\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-06 单-三角函数的图象变换
• 1990-全国卷理-15 单-函数图象的变换
• 1997-全国卷理-07 单-函数图象的变换