2022-甲卷文-11 单-椭圆向量数量积

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及向量数量积的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$，$A_1,A_2$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$B$ 为 $C$ 的上顶点。若 $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_2}=-1$，则 $C$ 的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{16}=1$　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$

C. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{2}+y^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$ 建立 $a,b,c$ 的关系，用 $a^2$ 表示 $b^2$。
2. 写出顶点 $A_1,A_2,B$ 的坐标，利用向量数量积坐标公式表达 $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_2}=-1$。
3. 联立方程求出 $a^2$ 与 $b^2$，确定椭圆方程。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，则 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{9}$。 又 $c^2=a^2-b^2$，故 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{9}$，解得 $b^2=\frac{8}{9}{a}^2$。

椭圆顶点坐标分别为 $A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$, $B(0,b)$。 向量 $\overrightarrow{B{A}_1}=(-a,-b)$，$\overrightarrow{B{A}_2}=(a,-b)$。 根据向量数量积公式： $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_2}=(-a)\cdot a+(-b)\cdot (-b)=-a^2+b^2=-1$

将 $b^2=\frac{8}{9}{a}^2$ 代入上式： $-a^2+\frac{8}{9}{a}^2=-1⟹-\frac{1}{9}{a}^2=-1⟹a^2=9$

代回得 $b^2=\frac{8}{9}\times 9=8$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$。

故选：B

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：椭圆参数关系 $a^2=b^2+c^2$、离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 以及向量数量积坐标表示。
2. 核心方法：利用待定系数法将几何条件转化为关于 $a,b$ 的代数方程组。
3. 避坑指南：注意顶点坐标的符号与坐标位置（上顶点 $B$ 的横坐标为 $0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2004-天津理-22 解-椭圆
• 2010-天津卷理-20
• 2010-江西卷理-21