2022-甲卷文-15 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与渐近线，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 记双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $e$，写出满足条件“直线 $y=2x$ 与 $C$ 无公共点”的 $e$ 的一个值 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。过原点的直线 $y=2x$ 与双曲线 $C$ 无公共点，等价于该直线的斜率绝对值不大于渐近线斜率绝对值，即 $2⩽\frac{b}{a}$。
2. 将 $\frac{b}{a}$ 的不等式转化为离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的取值范围 $1<e⩽\sqrt{5}$。
3. 在范围内任取一个具体数值作为答案。

✅【答案】

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$2$（在 $(1,\sqrt{5}]$ 内的任意数均正确）

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

过原点的直线 $y=2x$ 与双曲线 $C$ 没有公共点，需满足直线的斜率绝对值不大于渐近线斜率绝对值，即： $2⩽\frac{b}{a}⟹\frac{b^2}{a^2}⩾4$

根据离心率公式 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}$： $e^2⩾1+4=5$

因为双曲线离心率 $e>1$，所以 $1<e⩽\sqrt{5}$。

在区间 $(1,\sqrt{5}]$ 内任取一值，例如取 $e=2$（或 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ 等均可）。

故答案为：$2$（在 $(1,\sqrt{5}]$ 内的任意数均正确）

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：双曲线渐近线与直线的公共点判定，离心率 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$ 的转换。
2. 核心方法：数形结合，通过比较直线斜率与渐近线斜率的大小确定交点情况。
3. 避坑指南：注意直线 $y=2x$ 夹在两渐近线中间时才会与双曲线相交；写出离心率值时需确保满足 $e>1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线