2022-甲卷理-16 填-解三角形最值

本题导读

本题考查边角关系，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 已知 $△ABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$\angle ADB=120^{\circ }$，$AD=2$，$CD=2BD$．当 $\frac{AC}{AB}$ 取得最小值时，$BD=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 引入变量（代数化）：由于要求 $\frac{AC}{AB}$ 的最小值，且已知 $CD=2BD$，自然想到设 $BD=x$，则 $CD=2x$。这样可以将几何长度完全参数化。

2. 两次应用余弦定理：在 $△ABD$ 和 $△ACD$ 中，已知两边（包含变量 $x$ 和常量 $2$）和夹角（$120^{\circ }$ 和其补角 $60^{\circ }$），利用余弦定理分别表示出 $A{B}^2$ 和 $A{C}^2$。

3. 构造目标函数：将目标求最小值的比例转化为平方的比例 $\frac{A{C}^2}{A{B}^2}$，得到一个关于 $x$ 的二次分式函数。

4. 代数变形与基本不等式：对二次分式进行“分离常数”处理，将其化为 $A-\frac{B}{x+C+\frac{D}{x+C}}$ 的形式。利用基本不等式（均值不等式）求出分母的最小值，进而确定整体的最小值，并解出等号成立时的 $x$ 值。

✅【答案】

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$\sqrt{3}-1$

✍【详细解析】

Abstract

1. 设定变量与角度推导：

设 $BD=x(x>0)$，由于 $CD=2BD$，则 $CD=2x$．

点 $D$ 在 $BC$ 上，已知 $\angle ADB=120^{\circ }$，

则其邻补角 $\angle ADC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$．

2. 利用余弦定理表示边长平方：

• 在 $△ACD$ 中，已知 $AD=2$，$CD=2x$，$\angle ADC=60^{\circ }$．

  根据余弦定理：

  AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos 60^\circ$$$$AC^2 = 2^2 + (2x)^2 - 2 \times 2 \times 2x \times \frac{1}{2}$$$$AC^2 = 4x^2 - 4x + 4

• 在 $△ABD$ 中，已知 $AD=2$，$BD=x$，$\angle ADB=120^{\circ }$．

  根据余弦定理：

  AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos 120^\circ$$$$AB^2 = 2^2 + x^2 - 2 \times 2 \times x \times (-\frac{1}{2})$$$$AB^2 = x^2 + 2x + 4

3. 构造目标函数并进行代数变形：

要使 $\frac{AC}{AB}$ 取得最小值，等价于使其平方 $y=\frac{A{C}^2}{A{B}^2}$ 取得最小值．

$y=\frac{4x^2-4x+4}{x^2+2x+4}$

为了求该分式的最值，进行“分离常数”操作，配凑分子使其包含分母：

$y=\frac{4(x^2+2x+4)-12x-12}{x^2+2x+4}=4-\frac{12(x+1)}{x^2+2x+4}$

将后面分式的分子、分母同时除以 $(x+1)$（因为 $x>0$，所以 $x+1>0$）：

$y=4-\frac{12}{\frac{x^2+2x+4}{x+1}}=4-\frac{12}{\frac{(x+1{)}^2+3}{x+1}}=4-\frac{12}{(x+1)+\frac{3}{x+1}}$

4. 应用基本不等式求取等条件：

要使 $y$ 最小，则减数 $\frac{12}{(x+1)+\frac{3}{x+1}}$ 必须最大，即其分母 $(x+1)+\frac{3}{x+1}$ 必须取得最小值．

因为 $x>0$，则 $x+1>0$．利用基本不等式：

$(x+1)+\frac{3}{x+1}⩾2\sqrt{(x+1)\cdot \frac{3}{x+1}}=2\sqrt{3}$

当且仅当 $x+1=\frac{3}{x+1}$ 时，等号成立．

解此等式：$(x+1{)}^2=3$．

因为 $x+1>0$，开方得 $x+1=\sqrt{3}$，解得 $x=\sqrt{3}-1$．

此时，取得最小值的自变量 $x$（即 $BD$ 的长度）为 $\sqrt{3}-1$．

5. 结论：

答案填入 $\sqrt{3}-1$．

【解法二】以$D$为原点建立如图所示坐标系，设$BD=x(x>0)$，

则$D(0,0),B(-x,0),C(2x,0),A(1,\sqrt{3})$，

则有$\overrightarrow{AC}=(2x-1,-\sqrt{3}),\overrightarrow{AB}=(-x-1,-\sqrt{3})$

所以$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{(2x-1)}^2+{(-\sqrt{3})}^2}=\sqrt{4x^2-4x+4},|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-x-1)}^2+{(-\sqrt{3})}^2}=\sqrt{x^2+2x+4}$

则有$\frac{A{C}^2}{A{B}^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{4x^2-4x+4}{x^2+2x+4}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，

其中$x+1+\frac{3}{x+1}⩾2\sqrt{3}$，

此时$\frac{b^2}{c^2}⩾4-2\sqrt{3}$，

当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，

即$BD=\sqrt{3}-1$时．$\frac{AC}{AB}$取得最小值$\sqrt{3}-1$，

所以$BD=\sqrt{3}-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 几何代数化：面对“求某线段比值/长度最值”的问题，首要策略是将几何图形放入代数模型中。本题利用 $120^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$ 的互补特性，完美地将两个三角形通过余弦定理联系起来。

  2. 齐次/二次分式的最值通法：处理形如 $\frac{a{x}^2+bx+c}{d{x}^2+ex+f}$ 的最值问题，最高效的方法是分离常数后利用基本不等式（均值不等式）。分子分母同除以 $x$ 或 $(x+m)$ 是配凑的灵魂。

• 规律总结：在利用基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 时，必须配凑出“乘积为常数”的结构，如本题中将分母配成 $(x+1{)}^2+3$ 再除以 $(x+1)$ 从而得出互为倒数的结构。

• 避坑指南：

  • 等号成立条件：在解 $(x+1{)}^2=3$ 时，注意几何意义中的线段长度为正，所以 $x>0$，负根 $-\sqrt{3}-1$ 必须舍去。

  • 符号错误：在列 $△ABD$ 的余弦定理时，$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，公式中的减号与负号抵消变成加号，这是极易算错导致全盘皆输的细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2004-浙江理-17 解-三角形内角和定理与诱导公式
• 2006-山东卷理-04 单-解三角形
• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角