2023-上海卷-01 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及一元一次不等式组。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）不等式 $|x-2|<1$ 的解集为 ______．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别不等式类型：本题属于形如 $|x-a|<b$ ($b>0$) 的一元一次绝对值不等式。

2. 去绝对值符号：根据绝对值的几何意义或性质，将其转化为不含绝对值符号的连不等式。

3. 求解区间：解简单的一元一次不等式组，得出变量 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

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$(1,3)$ （或 $\{x\mid 1<x<3\}$）

✍【详细解析】

Abstract

解析

方法一：直接运算法（推荐）

1. 去绝对值：

   由绝对值不等式的性质 $|x-a|<b⟺-b<x-a<b$ 可得：

   $-1<x-2<1$

2. 移项求解：

   不等式各部分同时加上 $2$：

   $-1+2<x<1+2$

   即：

   $1<x<3$

3. 写出解集：

   用区间形式表示为 $(1,3)$，用集合形式表示为 $\{x\mid 1<x<3\}$。

方法二：数轴分析法

1. 理解几何意义：$|x-2|<1$ 表示数轴上的点 $x$ 到点 $2$ 的距离小于 $1$。

2. 确定范围：

   • 以 $2$ 为中心，向左移动 $1$ 个单位到达 $1$；

   • 以 $2$ 为中心，向右移动 $1$ 个单位到达 $3$。

3. 得出结论：距离小于 $1$ 的区域即为 $1$ 到 $3$ 之间的开区间，故解集为 $(1,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的基本代数性质与几何距离实质。
2. 核心方法：公式转化法、数轴判定法。
3. 避坑指南：

• 开闭区间陷阱：题干符号为 “$<$”（严格小于），因此边界点 1 和 3 不能包含在内，书写区间时必须用小括号表示开区间，切勿错写为中括号 $[1,3]$。
• 格式规范性：上海卷此类题目明确要求填写“解集”，作答时应规范写成区间形式 $(1,3)$ 或集合形式 $\{x\mid 1<x<3\}$，不建议直接书写连不等式 $1<x<3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷的第一题，属于考查高中数学核心基础概念的常规送分题。
2. 结论推广：对于任意一元一次绝对值不等式，可通过标准模型直接去绝对值：

• 当 $|f(x)|<a(a>0)$ 时，去绝对值取中间，化为 $-a<f(x)<a$；
• 当 $|f(x)|>a(a>0)$ 时，去绝对值取两边，化为 $f(x)>a$ 或 $f(x)<-a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式
• 1993-旧高考理-29
• 2002-北京卷理-17 解-无理不等式