2023-上海卷-04 填-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $\tan \alpha =3$，则 $\tan 2\alpha =$ ________．

🔍【思路分析】

破题导航

识别条件与目标：已知角 $\alpha$ 的正切值，求其二倍角 $2\alpha$ 的正切值。

匹配公式：直接联想到三角函数中的正切二倍角公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$。

代入计算：将已知的 $\tan \alpha =3$ 整体代入公式即可求得最终结果。

✅【答案】

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$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解析

方法一：公式法（推荐）

列出公式：

根据正切的二倍角公式可知：

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

代入数据：

已知 $\tan \alpha =3$。

将数值代入上述公式：

$\tan 2\alpha =\frac{2\times 3}{1-3^2}$

完成计算：

分别计算分子和分母：

分子：$2\times 3=6$

分母：$1-9=-8$

$\tan 2\alpha =\frac{6}{-8}$

化简分数得出最终结果：

$\tan 2\alpha =-\frac{3}{4}$

故答案为：$-\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数中正切二倍角公式的记忆与基本初等运算。
2. 核心方法：公式解析法。
3. 避坑指南：

• 分母减法顺序：公式分母为 $1-{\tan }^2\alpha$，由于 ${\tan }^2\alpha =9>1$，减法结果必然为负数（$-8$），计算时切勿颠倒顺序写成 $9-1=8$，导致最终结果符号出错。
• 分数最简式表达：计算出 $\frac{6}{-8}$ 后，必须将其化简为最简分数 $-\frac{3}{4}$，避免因没有约分导致扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题的第四题，属于考查三角恒等变换基本公式套用的常规基础题。
2. 结论推广：正切二倍角公式是由两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ 在 $\alpha =\beta$ 的特例状态下推导而来的。 在高考综合题中，该公式常与“万能公式”及“弦化切”思想横向交汇。例如，已知 $\tan \alpha =3$，不仅可以求 $\tan 2\alpha$，还可以通过弦化切求出二倍角的正弦与余弦：

• $\sin 2\alpha =\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{2\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
• $\cos 2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{1-{\tan }^2\alpha }{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{-8}{10}=-\frac{4}{5}$ 经检验，$\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$，与本题计算结果完全吻合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2016-全国卷II理-09
• 1977-北京理-04