2023-乙卷文-14 填-同角三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系（商数关系，以及三角函数的符号判定。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）若 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\tan \theta =\frac{1}{3}$，则 $\sin \theta -\cos \theta =$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定象限与符号：由 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 可知 $\theta$ 为第一象限角，因此 $\sin \theta >0$，$\cos \theta >0$。
2. 求解基本三角函数值：

• 方法一（代数法）：联立 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{3}$ 与 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求解。
• 方法二（几何法）：构造直角三角形，令对边为 1，邻边为 3，通过勾股定理求出斜边，直接读出正弦与余弦值。

3. 计算目标代数式：将求出的 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 代入 $\sin \theta -\cos \theta$ 算出结果。

✅【答案】

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$-\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：同角三角函数关系法（代数法） 因为 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{3}$， 所以 $\cos \theta =3\sin \theta$。

将此式代入平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 中得： ${\sin }^2\theta +(3\sin \theta {)}^2=1⟹10{\sin }^2\theta =1⟹{\sin }^2\theta =\frac{1}{10}$

因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以在第一象限内 $\sin \theta >0$， 解得： $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

进而求得： $\cos \theta =3\sin \theta =3\times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

代入目标式计算： $\sin \theta -\cos \theta =\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{2\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$

解法二：构造直角三角形法（几何法，最优解） 因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 且 $\tan \theta =\frac{1}{3}$， 可构造一个直角三角形 $△ABC$，其中 $\angle B=90^{\circ }$，内角 $\angle A=\theta$。 令角 $\theta$ 的对边 $BC=1$，邻边 $AB=3$。

根据勾股定理，斜边 $AC$ 的长度为： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

由此直接得出该角的正弦与余弦值： $\sin \theta =\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ $\cos \theta =\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

因此： $\sin \theta -\cos \theta =\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$

填空题答案为：$-\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$、$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 的综合计算。
2. 核心方法：直角三角形数形结合法。在已知某角的一个三角函数值且已知范围的情况下，通过画出直角三角形赋予边长，能极快地推导出其余三角函数值。
3. 避坑指南：

• 符号混淆：虽然 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 均为正数，但目标式为 $\sin \theta -\cos \theta$。由于 $\tan \theta =\frac{1}{3}<1$，在第一象限内说明 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，此时 $\sin \theta <\cos \theta$，故相减结果必然为负数，切勿漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第五章《三角函数》中关于同角三角函数基本关系式的经典课后练习，属于高考试卷中考查基础运算基本功的容易题。
2. 结论推广：

• 弦切通化公式：对于形如 $\sin \theta \pm \cos \theta$ 的代数式，在已知 $\tan \theta$ 时，可以通过平方后再除以含有 1 的齐次分母（弦化切）实现万能公式化转换。
• 推导：$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }$，上下同除以 ${\cos }^2\theta$ 得： $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=\frac{{\tan }^2\theta -2\tan \theta +1}{{\tan }^2\theta +1}=\frac{(\tan \theta -1{)}^2}{{\tan }^2\theta +1}$
• 代入 $\tan \theta =\frac{1}{3}$ 验证：$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=\frac{(\frac{1}{3}-1{)}^2}{(\frac{1}{3}{)}^2+1}=\frac{\frac{4}{9}}{\frac{10}{9}}=\frac{2}{5}$。再结合前述符号判定开根号，直接得到 $-\sqrt{\frac{2}{5}}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数
• 1991-全国卷理-01
• 1996-全国卷理-07