2023-乙卷文-19 解-立几综合

本题导读

本题考查线面平行的判定定理。核心在于中位线转化法、面面垂直性质找高法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB\perp BC$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$PB=PC=\sqrt{6}$。$BP,AP,BC$ 的中点分别为 $D,E,O$，点 $F$ 在 $AC$ 上，$BF\perp AO$。

（1）证明：$EF\parallel \text{平面 }ADO$；

（2）若 $\angle POF=120^{\circ }$，求三棱锥 $P-ABC$ 的体积。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：

• 欲证 $EF\parallel \text{平面 }ADO$，需在平面 $ADO$ 内寻找或构造一条直线与 $EF$ 平行。
• 已经给出 $D,E$ 分别为 $BP,AP$ 的中点，由中位线定理易知 $DE\parallel AB$ 且 $DE=\frac{1}{2}AB$。
• 通过在 $△ABC$ 中利用 $AB\perp BC,BF\perp AO$ 等边角关系，证明 $F$ 为 $AC$ 的中点。
• 从而在 $△APC$ 中， $E,F$ 分别为 $AP,AC$ 的中点，由中位线定理可得 $EF\parallel PC$。同理在 $△PBC$ 中， $D,O$ 分别为 $BP,BC$ 的中点，可得 $DO\parallel PC$。
• 由平行公理得 $EF\parallel DO$，进而根据线面平行的判定定理完成证明。

2. 第（2）问思路：

• 先求底面 $△ABC$ 的面积：由 $AB\perp BC$， $△ABC$ 为直角三角形， $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC$。
• 确立顶点 $P$ 到底面的体现位置（找高）：
  • 由 $PB=PC$ 且 $O$ 为 $BC$ 中点，可得 $PO\perp BC$。
  • 根据（1）中结论可证得 $BO\perp \text{平面 }POF$，进而推导得出 $\text{平面 }POF\perp \text{平面 }ABC$。
  • 在平面 $POF$ 内，过点 $P$ 作直线 $OF$ 的垂线 $PG\perp OF$ 于 $G$，则 $PG$ 即为三棱锥 $P-ABC$ 的高。
• 计算高与体积：由 $△PBC$ 边长关系求出 $PO$，在 $△POG$ 中利用 $\angle POF=120^{\circ }$ 算出高 $PG$，最后代入体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\times PG$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析

(2) $V_{P-ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 在 Rt$△ABC$ 中，因为 $AB\perp BC$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{2}$， 由勾股定理可得： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$ 因为 $O$ 为 $BC$ 的中点，所以 $BO=OC=\sqrt{2}$。 在 Rt$△ABO$ 中，由勾股定理可得： $AO=\sqrt{A{B}^2+B{O}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$

在 Rt$△ABC$ 和 Rt$△ABO$ 中： $\sin \angle ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\sin \angle BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 由于 $AB\parallel AB$， $AB\perp BC$，可得 $\sin \angle OBF=\sin \angle BAO=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 由此满足 $\sin \angle ACB=\sin \angle OBF$，因为两者皆为锐角，所以 $\angle ACB=\angle OBF$。

在 $△BCF$ 中，由于 $\angle CBF+\angle BCF=\angle OBF+\angle ACB$，且在 Rt$△ABO$ 中 $\angle BAO+\angle AOB=90^{\circ }$， 可以推导证明得 $FO\perp BC$。 又因为 $AB\perp BC$，所以在平面 $ABC$ 内有 $FO\parallel AB$。 因为 $O$ 为 $BC$ 的中点，由平行线等分线段定理（或中位线逆定理）可知： $F$ 必为 $AC$ 的中点。

因为 $E,F$ 分别为 $AP,AC$ 的中点，在 $△APC$ 中，由中位线定理得： $EF\parallel PC$ 因为 $D,O$ 分别为 $BP,BC$ 的中点，在 $△PBC$ 中，由中位线定理得： $DO\parallel PC$ 根据平行公理，可得： $EF\parallel DO$

因为 $EF\notin \text{平面 }ADO$ 且 $DO\subset \text{平面 }ADO$， 根据线面平行的判定定理可知： $EF\parallel \text{平面 }ADO$

（2）解：

在 $△PBC$ 中，因为 $PB=PC=\sqrt{6}$，且 $O$ 为 $BC$ 的中点， 所以 $PO\perp BC$。 在 Rt$△POB$ 中，$PB=\sqrt{6}$，$BO=\sqrt{2}$，由勾股定理可得： $PO=\sqrt{P{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{6-2}=2$

由（1）可知 $BC\perp PO$ 且 $BC\perp FO$，又 $PO\cap FO=O$， $PO,FO\subset \text{平面 }POF$， 所以 $BC\perp \text{平面 }POF$。 因为 $BC\subset \text{平面 }ABC$， 所以 $\text{平面 }POF\perp \text{平面 }ABC$，且两平面交线为 $OF$。

在平面 $POF$ 内，过点 $P$ 作直线 $OF$ 的垂线，垂足为 $G$，即 $PG\perp OF$。 根据面面垂直的性质定理，可得： $PG\perp \text{平面 }ABC$ 即线段 $PG$ 的长度为三棱锥 $P-ABC$ 绕底面 $ABC$ 的高。

在 $△POG$ 中， $PG\perp OG$，即 $△POG$ 为直角三角形。 已知 $\angle POF=120^{\circ }$，则其补角 $\angle POG=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。 在 Rt$△POG$ 中： $PG=PO\times \sin \angle POG=2\times \sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

底面直角 $△ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

因此，三棱锥 $P-ABC$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times PG=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定、面面垂直的判定与性质定理、锥体体积度量。
2. 核心方法：

• 空间中位线过渡法：第（1）问中通过两条独立的中位线 $EF\parallel PC$ 和 $DO\parallel PC$，利用平行传递性转为线线平行，是建立线面平行的标准范式。
• 面面交线作高法：由线面垂直导出面面垂直，在侧面内作交线的垂线即为整个几何体的高。

3. 避坑指南：

• 错定 $F$ 点位置：第（1）问不能直接主观断定 $F$ 为中点，必须通过 $\sin \angle ACB=\sin \angle OBF$ 严格论证出 $FO\parallel AB$ 才能启动中点性质。
• 高的三角函数位置错看：在钝角 $\angle POF=120^{\circ }$ 结构中，垂足 $G$ 落在 $OF$ 的延长线上，计算高时需使用补角 $60^{\circ }$ 的正弦值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于线面平行与多面体体积的综合压轴题。此题将平面几何的复杂三角形度量与空间翻折、垂直体现模型结合，属于考查综合空间想象能力的典型大题。
2. 结论推广：

• 等体积割补与定比定则：若在任意三棱锥 $P-ABC$ 中， $E,F$ 分别为侧棱 $AP$ 和底边 $AC$ 的中点。
• 由截面性质可知，过 $E,F$ 且平行于特定轴的平面将分割锥体。由于 $E$ 为中点，从侧面体现看，三棱锥 $P-ABC$ 的高与三棱锥 $E-AFC$ 的高之比为 $2:1$，而底面积 $S_{△ABC}:S_{△AFC}=2:1$。
• 由体积公式可直接得出： $V_{E-AFC}=\frac{1}{4}{V}_{P-ABC}$。该比例定则在涉及立体几何动态切分与多组合体体积比对的填空、选择题中可直接作为二级结论应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直
• 2006-四川卷理-19 解-三棱锥的体积公式
• 2008-山东卷文-19 解-四棱锥面面垂直与体积