2023-乙卷理-02 单-集合运算

本题导读

本题考查并集运算，以及交集运算。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）设集合$U=R$，集合$M=\left\{x|x<1\right\}$，$N=\left\{x|-1<x<2\right\}$，则$\left\{x|x\ge 2\right\}=$（    ）

A. ${\complement }_U\left(M\bigcup N\right)$　　　　B. $N\bigcup {\complement }_{U}M$　　　　C. ${\complement }_U\left(M\bigcap N\right)$　　　　D. $M\cup {\complement }_{U}N$

🔍【思路分析】

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由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为$\left\{x|x\ge 2\right\}$即可.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意可得$M\bigcup N=\left\{x|x<2\right\}$，

则${\complement }_U\left(M\bigcup N\right)=\left\{x|x\ge 2\right\}$， 选项A正确；

${\complement }_{U}M=\left\{x|x\ge 1\right\}$，则$N\bigcup {\complement }_{U}M=\left\{x|x>-1\right\}$，选项B错误；

$M\bigcap N=\left\{x|-1<x<1\right\}$，

则${\complement }_U\left(M\cap N\right)=\{x|x\le -1$

或$x\ge 1\}$，选项C错误； ${\complement }_{U}N=\{x|x\le -1$或

$x\ge 2\}$，

则M\bigcup {{\complement }_{U}}N=$$\left\{ x|x<1 \right.

或$x\ge 2\}$，选项D错误；

故选：A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第二题，属于传统的集合基本运算大类。母题模型契合人教A版教材《必修第一册》第一章“集合的基本运算”课后综合大练习。命题意图非常纯粹，旨在通过连续的不等式解集，测试考生在基本的逻辑连接词、补集转化时，思维的细腻程度与准确性。
2. 结论推广： 在集合的布尔代数（Boolean Algebra）运算体系中，本题 A 选项的代数结构完全遵从**德·摩根定律（De Morgan’s laws）**的对偶形态。 德·摩根定律指出，两个集合并集的补集，等于它们各自补集的交集： ${\complement }_U(M\cup N)={\complement }_{U}M\cap {\complement }_{U}N$

在本题中，我们可以通过直接求解右侧来快速验证：

• ${\complement }_{U}M=\{x\mid x⩾1\}$
• ${\complement }_{U}N=\{x\mid x⩽-1\text{ 或 }x⩾2\}$ 在数轴上求这两个补集集合的公共重叠部分（交集 $\cap$），显然，只有 $x⩾2$ 这一段同时被两个集合所拥有。 因此， ${\complement }_{U}M\cap {\complement }_{U}N=\{x\mid x⩾2\}$。熟练掌握德·摩根定律的转换，能够给考生在面对含未知字母参数的集合压轴选择题时，提供两条完全等价、可自发切换的解题和验算路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-01 单-集合并集
• 2014-重庆卷理-11 填-集合补集
• 2013-上海卷理-15 单-集合并集