2023-北京卷-01 单-集合

本题导读

本题考查交集的概念与运算，以及一元一次不等式组的解法。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知集合 $M=\{x\mid x+2\ge 0\}$，$N=\{x\mid x-1<0\}$，则 $M\cap N=$ (　　)

A. $\{x\mid -2\le x<1\}$　　B. $\{x\mid -2<x\le 1\}$　　C. $\{x\mid x\ge -2\}$　　D. $\{x\mid x<1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

识别集合类型：两个集合均为由一元一次不等式表示的实数区间集合。

化简集合：分别解出一元一次不等式，明确集合 $M$ 和 $N$ 的取值范围。

理解运算含义：交集 $M\cap N$ 要求提取出同时属于集合 $M$ 且属于集合 $N$ 的所有公共元素。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解析

方法一：直接运算法（推荐）

求解集合 $M$：

由 $x+2\ge 0$ 解得 $x\ge -2$，所以 $M=\{x\mid x\ge -2\}$（区间表示为 $[-2,+\infty )$）．

求解集合 $N$：

由 $x-1<0$ 解得 $x<1$，所以 $N=\{x\mid x<1\}$（区间表示为 $(-\infty ,1)$）．

寻找交集公共区间：

联立两个不等式得到不等式组：$\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x<1\end{array}$．

解得：$-2\le x<1$．

故 $M\cap N=\{x\mid -2\le x<1\}$．

方法二：数轴分析法

在数轴上画出 $M$：从 $-2$ 开始向右的射线（左端点 $-2$ 为实心点）．

在数轴上画出 $N$：从 $1$ 开始向左的射线（右端点 $1$ 为空心圆圈）．

合并图形：观察两条射线的重叠部分，即公共覆盖的区域，是从 $-2$ 到 $1$ 的线段。

判断端点：左端点包含 $-2$，右端点不包含 $1$。

因此，$M\cap N=\{x\mid -2\le x<1\}$．

结论：

对应选项 A 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续数集区间交集的代数与几何意义、一元一次不等式组的通解。
2. 核心方法：代数移项化简法、数轴几何重叠判定法。
3. 避坑指南：

• 混淆交并集（最易错选 C 或 D）：部分学生若错将交集“$\cap$”（取公共部分）记成并集“$\cup$”（取所有覆盖部分），会由于定势思维而发生误判。若本题求 $M\cup N$，由于两条射线在数轴上实现了无缝双向覆盖，其并集结果应为全体实数 $\mathbf{R}$。
• 端点等号判定失误（混淆 A 与 B）：在书写区间或选择选项时，必须对“$⩾$”对应实心点（闭区间边界）、“$<$”对应空心圈（开区间边界）保持高度敏感。切勿因粗心将边界等号的位置看反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：其命题立意紧扣教材中集合的基本运算，旨在通过最简单的一元一次不等式，测试学生对数学集合符号（交集）的认读与基础代数逻辑的运算稳健度。
2. 结论推广：在处理形如 $M=\{x\mid x⩾a\}$ 与 $N=\{x\mid x<b\}$ 的两类无限区间的交集运算时，其几何结构恒由两端点的相对大小决定。运用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不着”的口诀：

• 若 $a<b$，则 $M\cap N=\{x\mid a⩽x<b\}$（如本题模型）；
• 若 $a⩾b$，则两区间在数轴上无重叠部分，此时 $M\cap N=\varnothing$。 通过将具体数值抽象为参数 $a,b$，有利于建立更为稳固的区间边界动态剪裁思维。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-27
• 1997-全国卷理-14 单-含绝对值的分式不等式组
• 2004-浙江理-13 填-分段函数