2023-北京卷-04 单-复合函数单调性

本题导读

本题考查单调性的概念与判断，以及指数函数、对数函数与幂函数的单调。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）下列函数中，在区间 $(0,+\infty )$ 上单调递增的是 (　　)

A. $f(x)=-\ln x$　　B. $f(x)=\frac{1}{2^x}$　　C. $f(x)=-\frac{1}{x}$　　D. $f(x)=3^{|x-1|}$

🔍【思路分析】

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分析目标：题目要求找出在区间 $(0,+\infty )$ 上单调递增的函数。

判定方法：利用基本初等函数（对数函数、指数函数、反比例函数）的单调性直接判断，或结合复合函数的单调性规则（同增异减）判断 A、B、C 选项；对于 D 选项这种含有绝对值的复杂函数，可以通过分析内层函数的单调区间或直接举反例来排除。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解析

对于 A 选项：

基本函数 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

乘以负号后，函数图像发生上下翻转，所以 $f(x)=-\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。故 A 错误。

对于 B 选项：

可以将函数化简为指数函数的形式：$f(x)=\frac{1}{2^x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。

因为底数 $0<\frac{1}{2}<1$，所以该指数函数在定义域 $\mathbf{R}$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上必然也单调递减。故 B 错误。

（也可以利用复合函数分析：$y=2^x$ 递增，$y=\frac{1}{t}$ 递减，复合后为递减）

对于 C 选项：

反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。

乘以负号后，单调性反转，所以 $f(x)=-\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。故 C 正确。

对于 D 选项：

方法一（特殊值代入法）：

取 $x=\frac{1}{2}$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=3^{|\frac{1}{2}-1|}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$。

取 $x=1$，$f(1)=3^{|1-1|}=3^0=1$。

取 $x=2$，$f(2)=3^{|2-1|}=3^1=3$。

因为 $f\left(\frac{1}{2}\right)>f(1)$ 且 $f(1)<f(2)$，即函数值先减小后增大，所以 $f(x)=3^{|x-1|}$ 在 $(0,+\infty )$ 上不单调。D 错误。

方法二（复合函数分析法）：

内层函数 $u=|x-1|$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。

外层函数 $y=3^u$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

根据“同增异减”原则，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，不是整个 $(0,+\infty )$ 上的单调递增函数。D 错误。

结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的单调特征属性、多项式变换（加负号）对单调性的反转效应、复合函数局部与全局单调性的映射规律。
2. 核心方法：基本函数直接定性法、同增异减口诀法、特值代数破局法。
3. 避坑指南：

• 混淆区间单调与局部单调：D 选项是本题最具迷惑性的干扰项。由于绝对值的作用，该复合函数的几何图象发生了折叠。很多学生容易只看到 $x>1$ 时单调递增的右半部分，而忽略了在区间 $(0,1)$ 内由于“异减”导致的单调下行趋势。
• 特殊值法使用要规范：在使用特殊值法排除 D 选项时，必须确保选取的自变量点同时包含在题目给定的区间 $(0,+\infty )$ 范围内，否则反例失效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学卷中极其标准、稳健的基础概念考查题。其改编母题源于教材中指数函数与对数函数章节关于单调性判断的习题变式。命题立意在于检验学生是否能将基本初等函数的性质顺畅地迁移、应用到简单的复合或加负号变换模型中。
2. 结论推广： 在高考选择题的演进和横向拓展中，复合函数 $y=f(g(x))$ 的单调性由内、外两层函数共同决定，且单调性的变化规律在代数层面上与实数的乘法符号法则高度同构。若我们将“单调递增”抽象记为正号（$+$），“单调递减”抽象记为负号（$-$），则有：

• 内层递增（$+$）且外层递增（$+$） $⟹$ 复合函数递增（$+$）
• 内层递减（$-$）且外层递减（$-$） $⟹$ 复合函数递增（$+$）
• 内层与外层一增一减（一正一负） $⟹$ 复合函数递减（$-$）

利用该“单调性符号法则（同号得增，异号得减）”，可以将多层复杂复合函数的性质判定快速转化为定性的符号连乘运算，实现思维的提速。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2014-江西卷理-03 单-复合函数
• 2026-北京卷-05 单-函数的性质