2023-北京卷-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及二项展开式中指定项的系数。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）在 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^5$ 的展开式中，$x$ 的系数为（ ）

A. $-40$　　　　　　B. $40$　　　　　　C. $-80$　　　　　　D. $80$

🔍【思路分析】

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分析目标：题目要求找出二项式 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^5$ 展开式中一次项（即 $x^1$ 项）的系数。

求解步骤：直接利用二项式定理写出展开式的通项公式 $T_{r+1}$，将字母 $x$ 的指数部分合并，令其指数等于 $1$，解出参数 $r$ 的值，再将 $r$ 代入常数部分即可求出所求系数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解析

首先，写出二项式 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^5$ 展开式的通项公式：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(2x{)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$

将通项公式中的常数部分和变量部分进行分离与化简：

T_{r+1} = \mathrm{C}_{5}^{r} \cdot 2^{5-r} \cdot x^{5-r} \cdot (-1)^{r} \cdot x^{-r}$$$$T_{r+1} = (-1)^{r} \cdot 2^{5-r} \cdot \mathrm{C}_{5}^{r} \cdot x^{5-2r}

题目要求求 $x$ 的系数，即要求变量 $x$ 的指数为 $1$。令：

$5-2r=1$

解该一元一次方程得：

$2r=4⟹r=2$

将 $r=2$ 代入化简后的常数系数部分，即可求得 $x$ 的系数：

系数 $=(-1{)}^2\cdot 2^{5-2}\cdot {\mathrm{C}}_5^2$

$=1\cdot 2^3\cdot 10$

$=1\cdot 8\cdot 10$

$=80$

故选：D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式的结构认读、同底数幂的分式化简、组合数 ${\mathrm{C}}_n^r$ 的精确计算。
2. 核心方法：标准通项解析法、系数符号整体分离法。
3. 避坑指南：

• 遗漏第二项的负号（最易错选 A 或 B）：二项式中的第二项为 $-\frac{1}{x}$，提取时必须连同其负号一同视作整体，转化为 $(-1{)}^r$ 参与系数运算。本题由于解得 $r=2$ 为偶数，负号经平方后变为 $1$，未对答案符号造成直接干扰；但若换为奇数项（如要求常数项或 $x^3$ 项），漏掉负号将直接掉入符号陷阱。
• 通项公式序数混淆：牢记通项公式表达的是第 $r+1$ 项，而公式内部的自变量和组合数上标是 $r$。在列方程求出 $r$ 后，代入求系数时使用的是 $r$ 的值，切勿误用 $r+1$ 进行计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的经典传统母题，直接改编自人教A版教材《选择性必修第三册》第六章“二项式定理”的课后基础练习题。由于其设问直白、路径单一，是高考中最为稳定的基础分值来源之一，重在考查对基本通项公式的运算熟练度。
2. 结论推广： 对于更为一般的二项式展开式 ${\left(A{x}^a+B{x}^b\right)}^n$ 求解指定项 $x^m$ 系数的问题，可以通过对通项公式的指数部分进行一般化提取，得到通用的 $r$ 对应方程： $a(n-r)+br=m⟹(b-a)r=m-an$

利用该推广方程，在面对更复杂的底数形式（如带有根号 $\sqrt{x}$ 或立方根 $\sqrt[3]{x}$ 的多项式）时，可以免去每题重复书写完整通项的过程，直接通过指数方程快速定位 $r$ 值，提升选择题的解题速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-13 填-二项展开式
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数