2023-北京卷-17 解-三角函数图象

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式。核心在于辅助角公式化简法、整体代换分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）设函数 $f(x)=\sin \omega x\cos \phi +\cos \omega x\sin \phi \left(\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\right)$．

（1）若 $f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\phi$ 的值．

（2）已知 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上单调递增，$f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=1$，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在，求 $\omega ,\phi$ 的值．

条件 ①：$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}$；

条件 ②：$f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-1$；

条件 ③：$f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

🔍【思路分析】

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1. 函数简化：利用两角和的正弦公式，将原式化为 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$。

2. 第一问：直接代入 $x=0$，得到 $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合 $\phi$ 的取值范围求解。

3. 第二问：

   • 条件筛选：首先排除条件 ①，因为 $\sin$ 函数的最大值为 $1$，不可能等于 $\sqrt{2}$。

   • 条件分析：

     • 若选条件 ②，已知区间两端分别取到最小值 $-1$ 和最大值 $1$，则区间长度刚好为半个周期 $\frac{T}{2}$。

     • 若选条件 ③，由单调性切换点可知 $x=-\frac{\pi }{3}$ 是极小值点，推导出 $f(-\frac{\pi }{3})=-1$，等价于条件 ②。

   • 参数求解：根据周期公式求出 $\omega$，再根据最值点位置求出 $\phi$。

✅【答案】

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(1) $\phi =-\frac{\pi }{3}$

(2) 选条件②或③，$\omega =1$，$\phi =-\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

因为 $f(x)=\sin \omega x\cos \phi +\cos \omega x\sin \phi =\sin (\omega x+\phi )$。

由 $f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得：

$\sin (\omega \cdot 0+\phi )=\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，

所以 $\phi =-\frac{\pi }{3}$。

（2）解：

由题意知 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$。其最大值为 $1$，最小值为 $-1$。

若选条件 ①：

由 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}>1$ 可知，这与正弦函数的值域 $[-1,1]$ 矛盾。

故条件 ① 不符合要求，函数 $f(x)$ 不存在。

若选条件 ②：

因为 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上单调递增，且 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=1$，$f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-1$。

所以该区间的长度等于半个周期，即：

$\frac{T}{2}=\frac{2\pi }{3}-\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$，得 $T=2\pi$。

由 $\omega =\frac{2\pi }{T}$，得 $\omega =1$。

此时 $f(x)=\sin (x+\phi )$。

由 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\phi \right)=1$ 得：

$\frac{2\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$，

即 $\phi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$。

因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，当 $k=0$ 时，$\phi =-\frac{\pi }{6}$。

经检验，当 $\omega =1,\phi =-\frac{\pi }{6}$ 时，$f(x)=\sin (x-\frac{\pi }{6})$ 在 $[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ 上单调递增，符合题意。

所以 $\omega =1,\phi =-\frac{\pi }{6}$。

若选条件 ③：

因为 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上单调递增，在 $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递减。

根据正弦函数的性质，函数在 $x=-\frac{\pi }{3}$ 处取得极小值。

所以 $f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-1$。

这与条件 ② 相同，后续求解过程同上：

可得 $\omega =1,\phi =-\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用诱导及和差公式重组函数、有界性定理在条件筛选中的一票否决制、单调性区间跨度与周期的数量映射。
2. 核心方法：整体换元法（将 $\omega x+\phi$ 视为统一变量 $t$）、最值点相位相配法。
3. 避坑指南：

• 在面对多选一条件大题时，必须先进行边界审视。条件 ① 中给出的值 $\sqrt{2}\approx 1.414>1$，直接击穿了正弦函数的基本值域，属于无效条件。
• 在由 $\sin t=1$ 反解 $\phi$ 时，务必写出标准通值 $+2k\pi$，然后利用已知边界 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 截取特定整数 $k$ 的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的高考三角函数解答题，采用了结构缺失型与条件自选型的开放设问结构。母题基础源于教材中关于“由正弦型函数的局部图象最值及单调性逆推解析式”的典型习题。命题立意在于考查考生的逻辑辨析能力，确保学生是在理解函数整体拓扑轮廓的前提下进行针对性解题。
2. 结论推广: 对于更为一般的正弦型函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )(\omega >0)$，若已知其在开区间 $[a,b]$ 上严格单调（递增或递减），且在右端点处取得绝对最值（最大值 1 或最小值 -1），则存在以下刚性的周期边界不等式外推通式： $\frac{T}{4}⩽b-a⩽\frac{T}{2}⟹\frac{\pi }{2(b-a)}⩽\omega ⩽\frac{\pi }{b-a}$ 特别地，当左端点同样能取得另一个极值（如本题条件 ② 的 $-1$）时，区间跨度精确达到周期的上限，即 $b-a=\frac{T}{2}⟹\omega =\frac{\pi }{b-a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-05
• 1991-全国卷理-21
• 1992-全国卷理-12