2023-天津卷-03 单-指数幂函数单调性

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及幂函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）若 $a=1.01^{0.5}$，$b=1.01^{0.6}$，$c=0.6^{0.5}$，则 (　)

A. $c>a>b$　　B. $c>b>a$　　C. $a>b>c$　　D. $b>a>c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同底数比较（指数函数）： 观察 $a$ 和 $b$，它们的底数相同均为 $1.01$，指数不同。可以构造指数函数 $y=1.01^x$，利用其单调性比较 $a,b$ 大小。

2. 同指数比较（幂函数）： 观察 $a$ 和 $c$，它们的指数相同均为 $0.5$，底数不同。可以构造幂函数 $y=x^{0.5}$，利用其单调性比较 $a,c$ 大小。

3. 综合排序： 联立上述两个不等关系得出最终结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 比较 $a$ 与 $b$：

   考虑指数函数 $f(x)=1.01^x$。

   因为底数 $1.01>1$，所以函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

   因为 $0.6>0.5$，所以 $1.01^{0.6}>1.01^{0.5}$。

   即 $b>a$。

2. 比较 $a$ 与 $c$：

   考虑幂函数 $g(x)=x^{0.5}$。

   因为指数 $0.5>0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。

   因为 $1.01>0.6$，所以 $1.01^{0.5}>0.6^{0.5}$。

   即 $a>c$。

3. 结论：

   综合上述结果，得 $b>a>c$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数当底数大于 1 时的单调递增特征、幂函数当幂指数大于 0 时的单调递增特征。
2. 核心方法：同底/同指分类函数化归法。
3. 避坑指南：

• 指数函数单调性底数临界点记反：部分考生容易混淆指数函数在底数处于 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty )$ 时的单调性状态。若误认为底数大于 1 时函数递减，则会得出 $a>b$ 的错误结论。
• 多变元混合直接比较：切忌尝试直接比较 $b=1.01^{0.6}$ 与 $c=0.6^{0.5}$。由于它们的底数与指数均互不相同，直接进行比较在初等代数内极难处理。必须以 $a$ 作为中置桥梁，完成解题路径的双向传导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考函数章节最经典、最稳健的初等数值大小比较选择题。母题构型直接来源于人教A版教材《必修第一册》第四章“指数函数与幂函数的性质及应用”课后基础练习题。命题意图非常清晰，旨在测试学生对两条基本初等函数曲线形态分布的定性辨析力。
2. 结论推广: 在实数集内，对于形如 $A=x_1^{\alpha },B=x_1^{\beta },C=x_2^{\alpha }$ 的三元素复合指幂大小比较模型，若满足刚性限定条件 $x_1>1>x_2>0$ 且 $\beta >\alpha >0$。 通过上述双函数单调性模型的严格外推，可得出以下普适的大小排序拓扑链：

• 由指数函数 $y=x_1^t(x_1>1)$ 严格递增可知： $\beta >\alpha ⟹B>A$；
• 由幂函数 $y=t^{\alpha }(\alpha >0)$ 严格递增可知： $x_1>x_2⟹A>C$。 从而无条件恒有 $B>A>C$。掌握此结构化的通式模型，可以绕过具体的函数构造步骤，在考场上实现对同类指幂选择题的直接快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16