2023-新高考II卷-02 单-集合

本题导读

本题考查子集与真子集，以及集合元素的互异性。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）设集合 $A=\{0,-a\}$，$B=\{1,a-2,2a-2\}$。若 $A\subseteq B$，则 $a=$（ ）

A. 2　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用子集定义：由 $A\subseteq B$ 且 $0\in A$，推导得出必有 $0\in B$。
2. 分类讨论建立方程：令集合 $B$ 中的含参元素等于 0，分别求出参数 $a$ 的候选值。
3. 代入验证：将求得的 $a$ 值代回原集合，检验元素互异性及另一元素 $-a$ 是否也属于 $B$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A\subseteq B$ 且 $0\in A$，所以 $0\in B=\{1,a-2,2a-2\}$。

分情况讨论：

• 若 $a-2=0$，解得 $a=2$。 此时 $A=\{0,-2\}$，$B=\{1,0,2\}$。 显然 $-2\notin B$，不满足 $A\subseteq B$，故 $a=2$ 舍去。
• 若 $2a-2=0$，解得 $a=1$。 此时 $A=\{0,-1\}$，$B=\{1,-1,0\}$。 满足 $-1\in B$，且集合 $B$ 中元素互不相同，符合题意。

综上所述，$a=1$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合包含关系（子集的定义）、集合元素的互异性。
2. 核心方法：分类讨论法、代入验证法。
3. 避坑指南：求出参数后，务必代回原集合进行双重检验（检验子集剩余元素的包含关系以及集合本身的互异性）。不可在得出 $a=2$ 或 $a=1$ 后不加验证直接选择。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查集合基本概念与运算，属于高考常考的基础概念题，侧重逻辑严密性与运算完备性。
2. 结论推广：处理含参集合的包含或相等问题（如 $A\subseteq B$、$A\cup B=B$ 等）时，“正向求解，代入检验”是通用法则。先利用特殊常数元素锁定参数范围，再利用互异性和完全包含关系剔除伪解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-03 单-交集与补集
• 2025-新高考I卷-02 单-集合
• 2006-上海卷理-01 填-集合元素的互异性