2023-新高考I卷-10 多-对数应用题

本题导读

本题考查函数模型及其应用，以及对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_p=20\times \lg \frac{p}{p_0}$，其中常数 $p_0(p_0>0)$ 是听觉下限阈值， $p$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离 / m	声压级 / dB
燃油汽车	10	$60\sim 90$
混合动力汽车	10	$50\sim 60$
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10\text{m}$ 处测得实际声压分别为 $p_1,p_2,p_3$，则（ ）

A. $p_1⩾p_2$　　　B. $p_2>10p_3$　　　C. $p_3=100p_0$　　　D. $p_1⩽100p_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取各声源的声压级区间： $L_{p_1}\in [60,90]$， $L_{p_2}\in [50,60]$， $L_{p_3}=40$。
2. 利用对数运算法则，建立声压级差值与声压比的关系： $L_A-L_B=20\lg \frac{p_A}{p_B}$。
3. 利用区间加减法求出声压级差值的取值范围，进而通过指对互化求解声压比的取值范围以判断各选项。

✅【答案】

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ACD

✍【详细解析】

Abstract

判断选项 A： 根据已知， $L_{p_1}\in [60,90]$， $L_{p_2}\in [50,60]$。 计算 $L_{p_1}-L_{p_2}$ 的最小值：当 $L_{p_1}=60$ 且 $L_{p_2}=60$ 时，取最小值 $0$。 即 $L_{p_1}-L_{p_2}⩾0$。 代入公式： $20\lg \frac{p_1}{p_2}⩾0⟹\lg \frac{p_1}{p_2}⩾0⟹\frac{p_1}{p_2}⩾1⟹p_1⩾p_2$ 故 A 正确。

判断选项 B： 根据已知， $L_{p_2}\in [50,60]$， $L_{p_3}=40$。 计算 $L_{p_2}-L_{p_3}$ 的范围：最小值 $50-40=10$，最大值 $60-40=20$。 即 $10⩽L_{p_2}-L_{p_3}⩽20$。 由 $L_{p_2}-L_{p_3}⩾10$ 得： $20\lg \frac{p_2}{p_3}⩾10⟹\lg \frac{p_2}{p_3}⩾\frac{1}{2}⟹\frac{p_2}{p_3}⩾10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}$ 因为 $\sqrt{10}<10$，当 $\frac{p_2}{p_3}$ 在 $[\sqrt{10},10]$ 之间时，条件不成立。 故 B 错误。

判断选项 C： 将 $L_{p_3}=40$ 代入定义式： $20\lg \frac{p_3}{p_0}=40⟹\lg \frac{p_3}{p_0}=2⟹\frac{p_3}{p_0}=10^2=100⟹p_3=100p_0$ 故 C 正确。

判断选项 D： 计算 $L_{p_1}-L_{p_2}$ 的最大值：当 $L_{p_1}=90$ 且 $L_{p_2}=50$ 时，取最大值 $40$。 即 $L_{p_1}-L_{p_2}⩽40$。 代入公式： $20\lg \frac{p_1}{p_2}⩽40⟹\lg \frac{p_1}{p_2}⩽2⟹\frac{p_1}{p_2}⩽10^2=100⟹p_1⩽100p_2$ 故 D 正确。

故选：ACD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算法则及指对互化，不等式区间的运算。
2. 核心方法：整体作差法。通过计算 $L_A-L_B$ 消去常数 $p_0$。
3. 避坑指南：

• 区间减法计算：求 $[a,b]-[c,d]$ 的最大值时为 $b-c$，最小值时为 $a-d$。
• 避免被物理名词干扰，直接提取数学模型，运用代数规则处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查对数模型在实际情境中的应用。
2. 结论推广：对于模型 $L=k\lg \frac{x}{x_0}$，因变量的算术级差对应自变量的几何比值。即 $L$ 的增减对应 $x$ 的倍数变化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-02 单-充分条件与必要条件的判定
• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算
• 1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较