2023-甲卷文-08 单-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的四则运算法则（商的求导法则。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）曲线 $y=\frac{{\text{e}}^x}{x+1}$ 在点 $\left(1,\frac{\text{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）

A. $y=\frac{\text{e}}{4}x$　　B. $y=\frac{\text{e}}{2}x$　　C. $y=\frac{\text{e}}{4}x+\frac{\text{e}}{4}$　　D. $y=\frac{\text{e}}{2}x+\frac{3\text{e}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导函数：利用商的求导法则 ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$，求出函数 $y=\frac{{\text{e}}^x}{x+1}$ 的导函数 $y^{\prime }$。
2. 求切线斜率：将切点的横坐标 $x=1$ 代入导函数中，计算出切线斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}$。
3. 写出切线方程：已知切点坐标 $\left(1,\frac{\text{e}}{2}\right)$ 和斜率 $k$，利用直线的点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 展开化简。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $y=f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x+1}$， 根据商的求导法则，对 $f(x)$ 求导得： $y^{\prime }=\frac{({\text{e}}^x{)}^{\prime }(x+1)-{\text{e}}^x(x+1{)}^{\prime }}{(x+1{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{{\text{e}}^x(x+1)-{\text{e}}^x\times 1}{(x+1{)}^2}=\frac{{\text{e}}^x(x+1-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x{\text{e}}^x}{(x+1{)}^2}$

将切点横坐标 $x=1$ 代入导函数中，求得切线的斜率 $k$ 为： $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=\frac{1\times {\text{e}}^1}{(1+1{)}^2}=\frac{\text{e}}{4}$

已知切点为 $\left(1,\frac{\text{e}}{2}\right)$，由直线的点斜式方程可得： $y-\frac{\text{e}}{2}=\frac{\text{e}}{4}(x-1)$

移项并化简得： $y=\frac{\text{e}}{4}x-\frac{\text{e}}{4}+\frac{\text{e}}{2}$ $y=\frac{\text{e}}{4}x+\frac{\text{e}}{4}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切点处的导数等于切线斜率）与直线的点斜式方程。
2. 核心方法：公式法。熟练运用商的求导公式是解题的基础。
3. 避坑指南：

• 区分“在某点处”与“过某点”：本题明确说明“在点 $\left(1,\frac{\text{e}}{2}\right)$ 处”，说明该点即为切点，无需再设切点坐标。
• 求导公式混淆：商的求导公式分子为 $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$，注意减号的顺序不能颠倒，易错看成积的求导法则而写成加号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》的常规课后练习题，是微积分基础部分的经典必考题型。
2. 结论推广：

• 一般化模型：对于函数 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x+m}$ （其中 $m\ne -x$），其导函数为 $f^{\prime }(x)=\frac{(x+m-1){\text{e}}^x}{(x+m{)}^2}$。
• 本题中 $m=1$，其导函数分子部分变为 $(x+1-1){\text{e}}^x=x{\text{e}}^x$。当考察该曲线在 $x=1-m$ 处的切线时，由于此时 $x+m-1=0$，切线斜率恒为 0，即切线平行于 $x$ 轴。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-04
• 2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义
• 2009-江西卷理-05