2023-甲卷文-18 解-立几综合

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于面面垂直性质法（垂面找高法）、空间等体积法（割补法）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）如图，在三棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥ 平面 A B C$ ， $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ 。

（1）证明： $平面 A C C_{1} A_{1} ⊥ 平面 B B_{1} C_{1} C$ ；

（2）设 $A B = A_{1} B$ ， $A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高。

🔍【思路分析】

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第（1）问思路：

欲证面面垂直，需在一面内寻找或构造一条直线垂直于另一面。

由已知 $A_{1} C ⊥ 平面 A B C$ 且 $B C \subset 平面 A B C$ ，可得 $A_{1} C ⊥ B C$ 。

结合已知条件 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ 即 $A C ⊥ B C$ ，以及 $A_{1} C \cap A C = C$ ，可证 $B C ⊥ 平面 A C C_{1} A_{1}$ 。

由于 $B C \subset 平面 B B_{1} C_{1} C$ ，从而证得面面垂直。

第（2）问思路：

方法一（几何法）：由第（1）问已证 $平面 A C C_{1} A_{1} ⊥ 平面 B B_{1} C_{1} C$ ，其交线为 $C C_{1}$ 。根据面面垂直的性质，在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} H ⊥ C C_{1}$ 于 $H$ ，则 $A_{1} H$ 即为四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高。通过计算侧面平行四边形的几何量求出 $A_{1} H$ 。

方法二（等体积法）：将三棱柱拆分为四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 与三棱锥 $A_{1} - A B C$ 两部分。利用 $V_{三棱柱} = V_{A_{1} - B B_{1} C_{1} C} + V_{A_{1} - A B C}$ 的体积关系列方程，进而求出四棱锥的高。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：因为 $A_{1} C ⊥ 平面 A B C$ ，且 $B C \subset 平面 A B C$ ，所以 $A_{1} C ⊥ B C$ ，即 $B C ⊥ A_{1} C$ 。

因为 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ，所以 $B C ⊥ A C$ 。

又因为 $A_{1} C \cap A C = C$ ，且 $A_{1} C, A C \subset 平面 A C C_{1} A_{1}$ ，所以 $B C ⊥ 平面 A C C_{1} A_{1}$

因为 $B C \subset 平面 B B_{1} C_{1} C$ ，所以 $平面 A C C_{1} A_{1} ⊥ 平面 B B_{1} C_{1} C$ 。

（2）解： 解法一：面面垂直性质法（几何法）

在侧面平行四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 中，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} H ⊥ C C_{1}$ ，垂足为 $H$ 。由（1）可知 $平面 A C C_{1} A_{1} ⊥ 平面 B B_{1} C_{1} C$ ，且两平面交线为 $C C_{1}$ 。因为 $A_{1} H \subset 平面 A C C_{1} A_{1}$ ，且 $A_{1} H ⊥ C C_{1}$ ，所以 $A_{1} H ⊥ 平面 B B_{1} C_{1} C$ 。即线段 $A_{1} H$ 的长度为四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高。

因为 $A_{1} C ⊥ 平面 A B C$ ，且 $A C \subset 平面 A B C$ ，所以 $A_{1} C ⊥ A C$ ，即 $△ A_{1} C A$ 为直角三角形，且 $∠ A_{1} C A = 9 0^{\circ}$ 。在三棱柱中，侧棱 $C C_{1} ∥ A A_{1}$ ，且 $C C_{1} = A A_{1} = 2$ 。

在 Rt $△ A_{1} C B$ 和 Rt $△ A C B$ 中： $A_{1} B = A_{1} C^{2} + B C^{2}, A B = A C^{2} + B C^{2}$ 因为已知 $A B = A_{1} B$ ，所以： $A_{1} C^{2} + B C^{2} = A C^{2} + B C^{2} ⟹ A_{1} C = A C$

在 Rt $△ A_{1} C A$ 中， $A_{1} C^{2} + A C^{2} = A A_{1}^{2} = 2^{2} = 4$ 。由于 $A_{1} C = A C$ ，则 $2 A C^{2} = 4 ⟹ A C = A_{1} C = 2$ 。因为四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 为平行四边形，且 $A A_{1} = C C_{1} = 2$ ，其面积可表示为： $S = A C \times A_{1} C = C C_{1} \times A_{1} H$ 代入数据得： $2 \times 2 = 2 \times A_{1} H ⟹ 2 = 2 A_{1} H ⟹ A_{1} H = 1$

所以，四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高为 1。

解法二：空间割补等体积法 因为 $B C ⊥ 平面 A C C_{1} A_{1}$ ，所以 $B C ⊥ C C_{1}$ 。由三棱柱性质可知侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为矩形。设 $B C = a$ ，则由解法一可知 $A C = A_{1} C = 2$ 。在 Rt $△ A C B$ 中， $A B = A C^{2} + B C^{2} = 2 + a^{2}$ 。底面 $△ A B C$ 的面积为： $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \times A C \times B C = \frac{1}{2} \times 2 \times a = \frac{2}{2} a$

因为 $A_{1} C ⊥ 平面 A B C$ ，所以三棱锥 $A_{1} - A B C$ 的高为 $A_{1} C = 2$ 。其体积为： $V_{A_{1} - A B C} = \frac{1}{3} \times S_{△ A B C} \times A_{1} C = \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} a \times 2 = \frac{1}{3} a$

整个三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为： $V_{三棱柱} = S_{△ A B C} \times A_{1} C = \frac{2}{2} a \times 2 = a$ 设四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高为 $h$ 。矩形侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的面积为 $S_{矩形} = B C \times C C_{1} = a \times 2 = 2 a$ 。其体积为： $V_{A_{1} - B B_{1} C_{1} C} = \frac{1}{3} \times S_{矩形} \times h = \frac{1}{3} \times 2 a \times h = \frac{2}{3} ah$

因为 $V_{三棱柱} = V_{A_{1} - A B C} + V_{A_{1} - B B_{1} C_{1} C}$ ，所以： $a = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} ah$ 两边同除以 $a$ （ $a \neq = 0$ ）得： $1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} h ⟹ \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} ⟹ h = 1$

所以，四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直、面面垂直的相互转化，多面体体积计算。

核心方法：

垂面找高法：通过证明面面垂直，将点到面的空间距离转化为平面内点到交线的线段距离。

等体积法（等积变形）：当直接找高较难时，利用部分体积之和等于总体积的代数关系建立方程。

避坑指南：

错把侧棱当做高：容易直观误认为 $A_{1} A$ 或 $A_{1} C$ 为四棱锥的高，必须经过面面垂直的判定性质才能确定高线的落点。

忽视线面垂直性质：在第（1）问中，由 $A_{1} C ⊥ 平面 A B C$ 推导 $A_{1} C ⊥ B C$ 时，容易忘记交代的直线在平面内的充要条件（ $B C \subset 平面 A B C$ ）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中三棱柱与四棱锥切接、分割的经典几何体模型。这类题目通常是由长方体截取或沿对角面折叠演变而来，考查线面垂直与位置关系的动态转化。

结论推广：

三棱柱体积拆分定则：对于任意三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，若将其沿对角面 $A B C_{1}$ 或 $A_{1} B C$ 进行切割，皆可拆分为一个“三棱锥”和一个“四棱锥”。

且无论三棱柱的形状如何（正三棱柱、斜三棱柱均适用），以底面为底的三棱锥体积 $V_{锥} = \frac{1}{3} V_{柱}$ 恒成立，则剩余的四棱锥体积恒占整个三棱柱体积的 $\frac{2}{3}$ ，即 $V_{四棱锥} = \frac{2}{3} V_{三棱柱}$ 。利用该通用比例性质，在填空、选择题中可免去繁琐的面积运算，直接得出体积比例关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

1999-全国卷理-18 填-线面垂直的命题构造

2004-全国卷I理-20 解-空间线面垂直

2005-福建卷理-20 解-直二面角的概念与性质

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