2023-甲卷文-19 解-独立性检验

本题导读

本题考查样本平均数计算。核心在于数据罗列统计法、公式代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中的 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）。试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2, 18.8, 20.2, 21.3, 22.5, 23.2, 25.8, 26.5, 27.5, 30.1, 32.6, 34.3, 34.8, 35.6, 35.6, 35.8, 36.2, 37.3, 40.5, 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8, 9.2, 11.4, 12.4, 13.2, 15.5, 16.5, 18.0, 18.8, 19.2, 19.8, 20.2, 21.6, 22.8, 23.6, 23.9, 25.1, 28.2, 32.3, 36.5

（1）计算试验组的样本平均数；

（2）（i）求 40 只小白鼠体重增加量的中位数 $m$，再分别统计两样本中小于 $m$ 与不小于 $m$ 的数据个数，完成如下列联表：

	$<m$	$\ge m$
对照组
试验组

（ii）根据（i）中的列联表，能否有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^2\ge k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：将试验组的 20 个数据全部相加，然后除以样本量 20，即可求得样本平均数。
2. 第（2）（i）问思路：

• 混合样本总数为 40，中位数应该是将全部 40 个数据从小到大排序后，第 20 位和第 21 位数据的平均值。
• 找出中位数 $m$ 后，对照原始排序数据，分别数出对照组和试验组中各项数据归入相应区间（$<m$ 或 $\ge m$）的频数，填入列联表。

3. 第（2）（ii）问思路：

• 从列联表中提取 $a,b,c,d$ 及总数 $n$ 的对应数值。
• 代入卡方公式 $K^2$ 计算观测值。
• 将计算得出的 $K^2$ 观测值与临界值表中的 $k=3.841$（对应置信度 95%）进行比较，得出统计学结论。

✅【答案】

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(1) 试验组样本平均数为 $19.8$

(2) (i) 中位数 $m=23.4$，列联表见解析

(ii) 有 $95\%$ 的把握认为差异显著

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 试验组的 20 只小白鼠体重的增加量之和为： $7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5=396$

试验组样本容量为 20，故样本平均数为： $\bar{x}=\frac{396}{20}=19.8$

（2）解： 将对照组和试验组的全部 40 个数据统一从小到大进行总排序。 排在中间位置的两个数（即第 20 位和第 21 位数据）分别为 $23.2$（来自对照组）和 $23.6$（来自试验组）。 因此，这 40 只小白鼠体重增加量的中位数 $m$ 为： $m=\frac{23.2+23.6}{2}=23.4$

根据中位数 $m=23.4$，分别清点各组数据个数：

• 对照组中小于 $23.4$ 的数据有：15.2, 18.8, 20.2, 21.3, 22.5, 23.2，共 6 个；不小于 $23.4$ 的数据有 14 个。
• 试验组中小于 $23.4$ 的数据有：7.8, 9.2, 11.4, 12.4, 13.2, 15.5, 16.5, 18.0, 18.8, 19.2, 19.8, 20.2, 21.6, 22.8，共 14 个；不小于 $23.4$ 的数据有 6 个。

完成的 $2\times 2$ 列联表如下：

	$<m$	$\ge m$	合计
对照组	6	14	20
试验组	14	6	20
合计	20	20	40

由列联表中的数据可知，$a=6,b=14,c=14,d=6$，总容量 $n=40$。 代入公式计算 $K^2$ 的观测值： $K^2=\frac{40\times (6\times 6-14\times 14{)}^2}{(6+14)(14+6)(6+14)(14+6)}=\frac{40\times (36-196{)}^2}{20\times 20\times 20\times 20}$ $K^2=\frac{40\times (-160{)}^2}{160000}=\frac{40\times 25600}{160000}=\frac{1024000}{160000}=6.4$

因为 $6.4>3.841$（95% 把握对应的临界值）， 所以有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中位数定义、列联表频数清点、卡方独立性检验计算。
2. 核心方法：

• 双指针总排序法：求混合中位数时，利用两组已排好序的序列，依次比对找出总体排在第 20 和 21 位的元素。
• 公式代入法：严格按照列联表的行列分布代入 $a,b,c,d$ 变量，计算卡方观测值。

3. 避坑指南：

• 算错中位数：容易误将单组的中位数当成总体中位数。必须把两组合并成 40 个数据后，再找中间两数的平均值。
• 频数点错：在清点小于 $23.4$ 的数据时，由于数值较多，容易看错行导致漏数或重复计数。
• 结论表述不严谨：回答（ii）时必须将观测值与临界值 $3.841$ 的大小比对关系写出来，且结论语言要扣紧题目条件中的“有 95% 的把握”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》中的独立性检验这一核心板块。作为解答题，重点考查考生的抗干扰计算能力与规范的数据清理基本功。
2. 结论推广：

• 卡方公式的简化对称结构：当两个分类变量的边缘分布完全对称时（如本题中各组样本容量均相等 $a+b=c+d=20$ 且区间分割线为中位数导致 $a+c=b+d=20$），设 $a=d,b=c$，则卡方计算公式可极大简化。
• 化简过程：$K^2=\frac{n(a^2-b^2{)}^2}{(a+b{)}^4}$。由本题数据代入：$K^2=\frac{40\times (6^2-14^2{)}^2}{20^4}=\frac{40\times (-160{)}^2}{160000}=6.4$。掌握此对称化简技巧，能在高考密集的计算中快速复核结果，防止算错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 14.02 百分位数与四分位数

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-09 单-茎叶图中位数平均数
• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2020-全国卷III文-18 解-独立性检验