2023-甲卷文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的四则运算法则。核心在于分类讨论法、不等式放大缩小法（放缩法）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）已知函数 $f(x)=ax-\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$，$x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)+\sin x<0$，求 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问思路：

• 将 $a=1$ 代入函数解析式。
• 利用商的求导法则求出导函数 $f^{\prime }(x)$。
• 在区间 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内分析导函数分子与分母的符号，从而确定 $f^{\prime }(x)$ 的正负号，得出单调性结论。

2. 第（2）问思路：

• 将条件变形为 $f(x)+\sin x=ax+\sin x\left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)<0$。
• 对参数 $a$ 进行分类讨论：
  • 当 $a\le 0$ 时，分析 $ax$ 与 $\sin x\left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)$ 的正负号，判断其是否恒小于 0。
  • 当 $a>0$ 时，利用常用不等式 $\sin x<x$ 进行放缩，分析是否存在特殊值使得不等式符号发生反转，从而通过反证或举特值判定该区间不成立。

✅【答案】

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(1) $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减

(2) $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,0]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 已知 $f(x)=ax-\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$。 对分式部分进行求导，根据商的求导法则： ${\left(\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}\right)}^{\prime }=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cdot {\cos }^{2}x-\sin x\cdot ({\cos }^{2}x{)}^{\prime }}{({\cos }^{2}x{)}^2}$ 因为 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$({\cos }^{2}x{)}^{\prime }=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x$，代入上式得： ${\left(\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}\right)}^{\prime }=\frac{\cos x\cdot {\cos }^{2}x-\sin x\cdot (-2\sin x\cos x)}{{\cos }^{4}x}=\frac{{\cos }^{3}x+2{\sin }^{2}x\cos x}{{\cos }^{4}x}=\frac{{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{3}x}$ 利用 ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ 化简分子： $\frac{{\cos }^{2}x+2(1-{\cos }^{2}x)}{{\cos }^{3}x}=\frac{2-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}$

因此，函数 $f(x)$ 的导函数为： $f^{\prime }(x)=a-\frac{2-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}$

当 $a=1$ 时，通分化简得： $f^{\prime }(x)=1-\frac{2-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}=\frac{{\cos }^{3}x+{\cos }^{2}x-2}{{\cos }^{3}x}$

因为 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos x\in (0,1)$。 从而有 ${\cos }^{3}x<1$ 且 ${\cos }^{2}x<1$，由此可得分子： ${\cos }^{3}x+{\cos }^{2}x-2<1+1-2=0$ 而分母 ${\cos }^{3}x>0$，故 $f^{\prime }(x)<0$。

所以，当 $a=1$ 时，$f(x)$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减。

（2）解：当 $a⩽0$ 时，$f(x)+\sin x=ax+\sin x\cdot \left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)<0$.

当 $a>0$ 时，因为当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$\sin x<x$，

所以 $f(x)+\sin x>\sin x\cdot \left(a+1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)$.

因为 $a>0$，所以 $0<\frac{1}{a+1}<1$，取 $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，

满足：${\cos }^2{x}_0>\frac{1}{a+1}$，从而 $f(x_0)+\sin x_0>0$.

综上，$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,0]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数公式（商的导数）、导数与单调性的关系、多项式与三角函数混合驱动的恒成立问题。
2. 核心方法：

• 邻域分析法（端点效应法）：在处理恒成立问题时，若函数在区间边界的取值为 0（如本题 $x=0$ 处），通过考察边界处的导数正负（即斜率趋势），可以快速锁定参数的必要条件范围，再进行充分性证明。
• 符号分离讨论法：第二问中将函数分块拆解成 $ax$ 与三角函数乘积两部分，由于两部分在 $a\le 0$ 时符号同向，从而直接避开了复杂的整体求导。

3. 避坑指南：

• 商求导公式记错：分母求导时，${\cos }^{2}x$ 是复合函数，求导需应用链式法则展开为 $2\cos x(-\sin x)$，漏掉负号或系数 2 会直接导致第一问逻辑溃败。
• 忽视恒成立的“每一个点”：很多考生容易被 $x\to \frac{\pi }{2}$ 处的负无穷大迷惑，误以为整体都是负数，而忽略了在 0 附近的局部极小细节，必须使用端点效应进行严谨约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》的综合提升板块。其更深层次的高等数学背景是泰勒级数展开（Taylor series）。
2. 结论推广：

• 将三角函数 $\sin x$ 与 $\cos x$ 在 $x=0$ 处执行泰勒展开： $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),{\cos }^{2}x=1-x^2+o(x^2)$
• 则分式部分展开为： $\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{x-\frac{x^3}{6}}{1-x^2}\approx x+\frac{5}{6}{x}^3$
• 代入原式 $F(x)=f(x)+\sin x$ 得到在 0 附近的近似多项式： $F(x)\approx ax-\left(x+\frac{5}{6}{x}^3\right)+x=ax-\frac{5}{6}{x}^3$
• 若要使该式在 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 启动的右侧邻域恒小于 0，其首项系数必须不大于 0，即 $a\le 0$。通过高等数学的级数视角可以极速透视出解析几何压轴题的命题本质与核心破题点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-19 解-导数的四则运算法则
• 2004-江苏卷-10 单-导数的四则运算法则
• 2005-广东卷-06 单-导数的四则运算法则