2023-甲卷理-07 单-充要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及平方关系。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）设甲：${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta =1$，乙：$\sin \alpha +\cos \beta =0$，则（）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

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1. 判定充分性 (甲 $⟹$ 乙)：分析当甲成立时，能否唯一推导出乙成立。尝试寻找满足甲但不满足乙的特殊角作为反例。

2. 判定必要性 (乙 $⟹$ 甲)：假设乙成立，即 $\sin \alpha =-\cos \beta$，代入甲的表达式进行化简，观察结果是否恒为 1。

3. 确定逻辑关系：

   • 若 甲 $⟹$ 乙 且 乙 $/⟹$ 甲，则为充分不必要；

   • 若 乙 $⟹$ 甲 且 甲 $/⟹$ 乙，则为必要不充分。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定必要性 (乙 $⟹$ 甲)：

假设命题乙成立，即 $\sin \alpha +\cos \beta =0$，则：

$\sin \alpha =-\cos \beta$

将其代入命题甲的左侧式子中：

\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = (-\cos \beta)^2 + \sin^2 \beta$$$$= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta

根据同角三角函数的平方关系，上式恒等于 $1$．

因此，乙成立必能推导出甲成立，即甲是乙的必要条件．

2. 判定充分性 (甲 $⟹$ 乙)：

假设命题甲成立，即 ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta =1$．

利用平方关系 $1-{\sin }^2\beta ={\cos }^2\beta$，得：

${\sin }^2\alpha ={\cos }^2\beta ⟹|\sin \alpha |=|\cos \beta |$

这意味着 $\sin \alpha =\cos \beta$ 或 $\sin \alpha =-\cos \beta$．

选取反例：设 $\alpha =\frac{\pi }{2},\beta =0$．

• 检查甲：${\sin }^2\frac{\pi }{2}+{\sin }^{2}0=1^2+0^2=1$，满足甲．

• 检查乙：$\sin \frac{\pi }{2}+\cos 0=1+1=2\ne 0$，不满足乙．

  既然存在满足甲但不满足乙的情况，所以甲推不出乙，即甲不是乙的充分条件．

3. 综合结论：

甲是乙的必要条件，但不是充分条件．

结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件的逻辑判定、同角三角函数平方关系的应用。
2. 核心方法：恒等变形法（判定必要性）、反例排除法（判定充分性）。
3. 避坑指南：代数运算中由 $X^2=Y^2$ 降幂时不可遗漏负根，即 $\sin \alpha =\pm \cos \beta$。平方操作会消去符号信息并扩大解集，故由二次关系通常无法等价推导出一次关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将常用逻辑用语与三角代数恒等式交汇考查，侧重考查逻辑推导的严密性。
2. 结论推广：设满足命题甲、乙的解集分别为集合 $A$ 与 $B$。由解析可知 $A=\{(\alpha ,\beta )\mid \sin \alpha =\cos \beta \vee \sin \alpha =-\cos \beta \}$，而 $B=\{(\alpha ,\beta )\mid \sin \alpha =-\cos \beta \}$。显然 $B⫋A$，在集合论中，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

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