2023-甲卷理-12 单-椭圆中线定理

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及正弦定理与余弦定理。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）设 $O$ 为坐标原点，$F_1,F_2$ 为椭圆 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{3}{5}$，则 $|OP|=$ ()

A. $\frac{13}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{30}}{2}$　　　　　　C. $\frac{14}{5}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{35}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 提取椭圆基本量：由方程可知 $a^2=9,b^2=6$，从而计算 $c^2=a^2-b^2=3$．

2. 方法一（中线定理，最快）：

   • 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，$PO$ 是底边 $F_1{F}_2$ 的中线。

   • 利用中线定理：$|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=2(|OP{|}^2+|O{F}_1{|}^2)$．

   • 结合椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 和余弦定理求出 $|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2$ 的值。

3. 方法二（焦点三角形面积公式）：

   • 利用二级结论 $S_{△P{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$ 求出面积。

   • 通过面积公式 $\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot |y_P|$ 求出点 $P$ 的纵坐标 $y_P^2$，进而求出 $|OP|$。

4. 方法三（极化恒等式）

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定基本量：

由椭圆方程 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ 得：

$a^2=9⟹a=3$；

$b^2=6$；

$c^2=a^2-b^2=3⟹c=\sqrt{3}$．

焦点为 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$，焦距 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{3}$．

2. 求解边长平方和（利用定义与余弦定理）：

设 $|P{F}_1|=r_1$，$|P{F}_2|=r_2$，$\angle F_{1}P{F}_2=\theta$．

• 根据椭圆定义：$r_1+r_2=2a=6$．

  两边平方得：$r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2=36$ ①．

• 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，由余弦定理：

  $|F_1{F}_2{|}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta$

  $(2\sqrt{3}{)}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cdot \frac{3}{5}$

  $12=r_1^2+r_2^2-\frac{6}{5}{r}_1{r}_2$ ②．

• 联立 ① ② 消去 $r_1{r}_2$：

  由 ① 得 $2r_1{r}_2=36-(r_1^2+r_2^2)$，代入 ②：

  $12=(r_1^2+r_2^2)-\frac{3}{5}[36-(r_1^2+r_2^2)]$

  $12=(1+\frac{3}{5})(r_1^2+r_2^2)-\frac{108}{5}$

  $\frac{8}{5}(r_1^2+r_2^2)=12+21.6=33.6$

  $r_1^2+r_2^2=\frac{33.6\times 5}{8}=4.2\times 5=21$．

3. 利用中线定理求解 $|OP|$：

在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，$O$ 为 $F_1{F}_2$ 的中点，故 $PO$ 为中线．

根据中线定理（阿波罗尼斯定理）：

$|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=2(|OP{|}^2+|O{F}_1{|}^2)$

$21=2(|OP{|}^2+c^2)$

$21=2(|OP{|}^2+3)$

$10.5=|OP{|}^2+3⟹|OP{|}^2=7.5=\frac{15}{2}$．

所以 $|OP|=\sqrt{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{2}$．

结论：

对应选项 B 正确．

方法三：极化恒等式

椭圆中： $a^2=9,b^2=6$所以

$c^2=a^2-b^2=3$焦点为

$F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$ 因此

$|F_1{F}_2|=2\sqrt{3},|O{F}_1|=\sqrt{3}$ 设

$m=|P{F}_1|,n=|P{F}_2|$椭圆定义给出：

$m+n=2a=6$

在三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中，由余弦定理：

$|F_1{F}_2{|}^2=m^2+n^2-2mn\cos \angle F_{1}P{F}_2$ 代入 $12=m^2+n^2-\frac{6}{5}mn$ 又$m^2+n^2=(m+n{)}^2-2mn=36-2mn$ 所以

$12=36-2mn-\frac{6}{5}mn$ $12=36-\frac{16}{5}mn$ $mn=\frac{15}{2}$ 于是

$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=|P{F}_1||P{F}_2|\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{15}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{2}$

由极化恒等式： $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=|PO{|}^2-|O{F}_1{|}^2$

因此$\frac{9}{2}=|OP{|}^2-3$ $|OP{|}^2=\frac{15}{2}$ $|OP|=\frac{\sqrt{30}}{2}$ 选择 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆第一定义、焦点三角形中的余弦定理、中线定理。
2. 核心方法：中线定理法（最简代数路径）。
3. 避坑指南：求动点到原点距离时，切忌设坐标 $P(x_0,y_0)$ 进行纯代数联立，这会产生庞大的运算量。利用中线定理可绕过坐标直接求得距离。此外，套用中线定理时切勿漏掉公式右侧的系数 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查椭圆焦点三角形的经典几何性质，属于理科选择题压轴位置对解析几何工具性运用的深度考查。
2. 结论推广：在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的任意焦点三角形 $△P{F}_1{F}_2$ 中，若顶角为 $\theta$，动点到中心的距离 $|OP|$ 与顶角 $\theta$ 之间存在恒定不变的代数映射。可推导出通用二级结论：$|OP{|}^2=\frac{2a^2(1+\cos \theta )-c^2(3+\cos \theta )}{2(1+\cos \theta )}$。在填空、选择题中，若熟记焦点三角形面积公式 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$，亦可通过 $S=c{h}_P=c|y_0|$ 快速定位点 $P$ 的纵坐标，进而由圆锥曲线方程反推出横坐标以求模长。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-福建卷理-10
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2003-上海卷理-07