2024-上海卷-02 填-分段函数求值

本题导读

本题考查求分段函数的值。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& x>0\\ 1,& x⩽0\end{array}$，则 $f(3)=$ ____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确自变量：待求函数值 $f(3)$ 中，自变量 $x=3$。
2. 区间判定：比对分段函数的定义域划分，判定 $3$ 属于 $x>0$ 这一分支。
3. 定向代入：将 $x=3$ 代入对应分支的解析式 $f(x)=\sqrt{x}$ 中完成计算。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

已知分段函数的解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& x>0\\ 1,& x⩽0\end{array}$

现在需要求解 $f(3)$ 的值，此时对应的自变量： $x=3$

因为 $3>0$，严格满足分段函数第一段区间 $x>0$ 的空间限制。 因此，应选取对应的函数分支解析式 $f(x)=\sqrt{x}$ 进行运算。 将 $x=3$ 代入，直接可得： $f(3)=\sqrt{3}$

【答案】：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的概念、给定自变量下的分段函数定向求值。
2. 核心方法：区间对齐代入法。
3. 避坑指南：

• 盲目套用公式：此类基础题最忌讳不看区间闭合边界直接盲目代入（例如部分考生因惯性思维直接看错或代入下半段，错填成 $1$ ）。牢记口诀：“先看范围，再定公式”。
• 复合函数连环陷阱：若本题变式为求 $f(f(-3))$，需由内而外剥洋葱。先算内层 $-3⩽0⟹f(-3)=1$；再算外层 $1>0⟹f(1)=\sqrt{1}=1$。处理临界端点（如 $x=0$ ）时，务必看清等号 $⩽$ 或 $⩾$ 依附于哪一个分支。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学教材必修第一册第三章《函数的概念与性质》中分段函数的起始概念引入习题，属于纯粹测验基本对应法则的题型。
2. 结论推广: 分段函数在代数本质上是数形结合的重要载体。在实际高考压轴题或综合题中，分段函数常与函数的单调性、奇偶性、以及方程零点（如 $f(x)=m$ 的根的个数）交织在一起。通过在不同区间作图，将连续的代数问题转化为分段的几何边界比对，是高阶函数问题的通用破题策略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2008-上海卷文-19 解-指数分段函数恒成立