2024-上海卷-03 填-一元二次不等式

本题导读

本题考查一元二次不等式，以及二次函数与一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知 $x\in \mathbb{R}$，则不等式 $x^2-2x-3<0$ 的解集为 ____.

🔍【思路分析】

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1. 因式分解定位边界：利用十字相乘法将二次三项式 $x^2-2x-3$ 因式分解，从而确定对应一元二次方程的两个实数根。
2. 结合图象判定区间：根据二次项系数为正（开口向上）及不等号为小于号（“ $<$ ”），遵循“小于取中间”的口诀确定自变量范围。
3. 规范集合书写：题目要求填写“解集”，最终结果必须以集合或区间的规范格式呈现。

✅【答案】

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$\{x\mid -1<x<3\}$

✍【详细解析】

Abstract

已知一元二次不等式为： $x^2-2x-3<0$

第一步：因式分解 利用十字相乘法，寻找两个整数使其积为 $-3$，和为 $-2$。显然这两个数为 $-3$ 和 $1$。 故左侧的代数式可因式分解为： $(x-3)(x+1)<0$

第二步：确定边界根 令 $(x-3)(x+1)=0$，解得对应一元二次方程的两个实数根分别为： $x_1=3,x_2=-1$

第三步：结合函数图象确定解集 对应的二次函数 $y=x^2-2x-3$ 的二次项系数为 $1>0$，函数图象为开口向上的抛物线。 由于不等号为 “ $<$ ”，即寻找抛物线位于 $x$ 轴下方的部分，根据“两根之间取中间”的几何特征，自变量范围为： $-1<x<3$

第四步：规范写出解集 将上述范围转化为标准的集合形式： $\{x\mid -1<x<3\}\text{或写为开区间}(-1,3)$

【答案】：$\{x\mid -1<x<3\}$ （或 $(-1,3)$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的标准解法、二次函数与一元二次不等式的对齐关系。
2. 核心方法：十字相乘因式分解法。
3. 避坑指南：

• 十字相乘符号看错：部分考生在考场紧张时，极易将 $-2x$ 与 $-3$ 错配为 $(x+3)(x-1)$，导致算出边界为 $-3$ 和 $1$ 而丢分。
• 解集书写格式不规范：题目明确要求填写“解集”，若在空格内只写 $-1<x<3$ 而不加集合外壳或写成区间形式，在高考阅卷中属于高危扣分点。
• 口诀使用前提：熟记“大于取两边，小于取中间”时，必须确保二次项系数已经化为正数。若遇到 $-x^2+2x+3<0$，必须先两端同乘 $-1$ 变号为 $x^2-2x-3>0$，再用“大于取两边”求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》的起始基础训练题，考查高中阶段最底层的代数运算工具。
2. 结论推广: 一元二次不等式、一元二次方程与二次函数（即著名的“三个二次”）在数形结合上是高度统一的整体。方程的根即为函数图象与 $x$ 轴的交点横坐标，而不等式的解集则是函数图象在 $x$ 轴上方或下方所对应的自变量体现区间。在面对高阶导数或解析几何的大题时，一元二次不等式常作为约束参数取值范围（如判别式 $\Delta >0$ ）的最后一道审查关卡。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式
• 2003-上海卷理-06
• 2004-全国卷III理-11 单-分段函数的不等式求解