2024-北京卷-09 单-函数的凸凹性

本题导读

本题考查指数函数图象上点的坐标关系，可以通过基本不等式进行代数放缩证明，也可通过指数函数的下凸性质（琴生不等式特例）实现数形结合的快速求解.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）已知 $(x_1,y_1)$， $(x_2,y_2)$ 是函数 $y=2^x$ 的图象上两个不同的点，则()

A. ${\log }_2\frac{y_1+y_2}{2}<\frac{x_1+x_2}{2}$　　　　　　　　　　　B. ${\log }_2\frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}$

C. ${\log }_2\frac{y_1+y_2}{2}<x_1+x_2$　　　　　　　　　　D. ${\log }_2\frac{y_1+y_2}{2}>x_1+x_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数法（基本不等式）：将点坐标代入函数解析式得到 $y_1,y_2$ 的表达式。观察选项结构，利用基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 处理 $y_1+y_2$，再结合对数运算性质化简比对。
2. 几何法（凸凹性）：函数 $y=2^x$ 图象为下凸曲线。利用下凸函数割线在曲线图象上方的几何性质，直接得出两点纵坐标平均值大于横坐标平均值对应的函数值，代入取对数即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数法（基本不等式）

因为 $(x_1,y_1)$， $(x_2,y_2)$ 是 $y=2^x$ 上的两个不同的点， 所以 $y_1=2^{x_1}$， $y_2=2^{x_2}$。 由于 $x_1\ne x_2$，所以 $2^{x_1}\ne 2^{x_2}$。 根据基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$（当 $a>0,b>0$ 且 $a\ne b$ 时严格大于），可得： $y_1+y_2=2^{x_1}+2^{x_2}>2\sqrt{2^{x_1}\cdot 2^{x_2}}=2\sqrt{2^{x_1+x_2}}$ 进一步化简根式部分： $y_1+y_2>2\cdot (2^{x_1+x_2}{)}^{\frac{1}{2}}=2\cdot 2^{\frac{x_1+x_2}{2}}$ 两边同时除以 2，得到： $\frac{y_1+y_2}{2}>2^{\frac{x_1+x_2}{2}}$ 因为对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在其定义域上是严格单调递增函数，所以对不等式两边同时取以 2 为底的对数，不等号方向不变： ${\log }_2\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)>{\log }_2\left(2^{\frac{x_1+x_2}{2}}\right)$ 即： ${\log }_2\frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}$

方法二：几何法（凸函数性质）

函数 $y=2^x$ 的图象开口向上，为严格下凸函数。 对于任意 $x_1\ne x_2$，根据下凸函数的性质（割线恒在图象上方），满足： $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ 将 $f(x)=2^x$ 代入得： $\frac{y_1+y_2}{2}>2^{\frac{x_1+x_2}{2}}$ 两边同取以 2 为底的对数（由 $y={\log }_{2}x$ 递增）得： ${\log }_2\frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}$

【答案】：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数的单调性与凸凹性、基本不等式的代数放缩、对数恒等变换。
2. 核心方法：代数法（基本不等式）、数形结合法（琴生不等式特例）。
3. 避坑指南：使用基本不等式时务必验证等号成立的条件。本题明确指出是“两个不同的点”，即 $x_1\ne x_2$，故放缩时必须使用严格的不等号（ $>$ ），不能带有等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查函数凹凸性（Jensen不等式）的最经典母题。表面上是一道代数不等式题目，其高等数学背景实则是凸分析中最基础的点集几何特征。
2. 结论推广:

• 下凸函数（如 $y=e^x,y=a^x(a>0),y=x^2$ ）：图象上任意两点连线的中点都在函数图象的上方。结论恒成立： $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。
• 上凸函数（如 $y=\ln x,y={\log }_{a}x(a>1),y=\sqrt{x}$ ）：图象上任意两点连线的中点都在函数图象的下方。结论恒成立： $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}<f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。 具备“看式子想图象”的几何直观能力，可将此类抽象不等式比较问题简化为“看图说话”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2022-高考上海卷-14
• 1998-全国卷理-02