2024-北京卷-10 单-封闭曲线

本题导读

本题考查点集的几何意义及相关运算，核心在于将含参代数式“翻译”为平面封闭曲边区域，进而求最远点距离，并通过定积分或几何放缩法确定图形面积大小.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）已知 $M=\{(x,y)\mid y=x+t(x^2-x),1⩽x⩽2,0⩽t⩽1\}$ 是平面直角坐标系中的点集.设 $d$ 是 $M$ 中两点间的距离的最大值，$S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，则()

A. $d=3,S<1$　　B. $d=3,S>1$　　C. $d=\sqrt{10},S<1$　　D. $d=\sqrt{10},S>1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图形边界分析：固定 $x\in [1,2]$，由于 $x^2-x⩾0$，随着参数 $t$ 从 0 变到 1，$y$ 的取值从下界 $y=x$ 扫过直至上界 $y=x^2$。故集合 $M$ 表示位于直线 $y=x$ 上方、抛物线 $y=x^2$ 下方的曲边区域。
2. 求最大距离 $d$：求封闭区域内两点间最大距离，必然在区域边界顶点处取得。算出该区域的顶点坐标，比较距离即可得 $d$。
3. 估算面积 $S$：可通过定积分直接求出曲边梯形面积；也可利用抛物线的下凸性质，构造外接三角形进行面积放缩，快速判断出大小关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定点集 $M$ 的几何图形及顶点坐标 已知 $y=x+t(x^2-x)$。 因为 $1⩽x⩽2$，所以 $x^2-x=x(x-1)⩾0$。 又因为 $0⩽t⩽1$，利用放缩法确定 $y$ 的边界： 当 $t=0$ 时，下边界为 $y=x$； 当 $t=1$ 时，上边界为 $y=x+1\cdot (x^2-x)=x^2$。 所以，集合 $M$ 表示的图形是介于直线 $x=1$ 和 $x=2$ 之间，夹在直线 $y=x$ 与抛物线 $y=x^2$ 中间的封闭曲边区域。

该区域的三个“顶点”分别为：

• $x=1$ 时，两边界交于一点 $A(1,1)$。
• $x=2$ 时，下边界点为 $C(2,2)$，上边界点为 $B(2,4)$。

第二步：计算最大距离 $d$ 由几何直观可知，区域 $M$ 中相距最远的两点必定是左端交点 $A(1,1)$ 与右上方最高点 $B(2,4)$。 利用两点间距离公式计算： $d=|AB|=\sqrt{(2-1{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ （由此可排除 A、B 选项）。

第三步：计算（或估算）面积 $S$

方法一：几何放缩法（快捷技巧） 函数 $y=x^2$ 是下凸函数，其图象上任两点间的曲线段必定位于这两点连线（割线）的下方。 连接 $A(1,1)$ 和 $B(2,4)$，则抛物线段完全位于线段 $AB$ 的下方。 因此，图形 $M$ 完全被包围在由点 $A(1,1),C(2,2),B(2,4)$ 构成的 $△ABC$ 内部。 $△ABC$ 为直角边平行于 $y$ 轴的三角形，底边 $BC$ 在 $x=2$ 上，其面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times |BC|\times h_A=\frac{1}{2}\times (4-2)\times (2-1)=1$ 因为图形 $M$ 是 $△ABC$ 内部的真子集，所以 $S<S_{△ABC}=1$。

方法二：定积分精确计算（严谨验证） 图形 $M$ 的面积 $S$ 等于上边界减去下边界的定积分： $S={\int }_1^2(x^2-x)dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^2$ $S=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}$ 显然 $S=\frac{5}{6}<1$。

【答案】：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参点集的几何意义转化、定积分求曲边梯形面积、凸函数割线放缩性质。
2. 核心方法：主元分离法（固定 $x$ 分析 $y$ 的随动边界）、定积分法、割线放缩法。
3. 避坑指南：求距离 $d$ 时，不要盲目认为最大距离必定产生在 $x=2$ 这条竖直边界线上（即点 $B(2,4)$ 与点 $C(2,2)$ 之间的距离 $|BC|=2$ ）。必须全局扫描区域顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考中考查“代数式向几何图形翻译”的高频创新题型。表达式 $y=x+t(x^2-x)$ 实质是连续映射下的同伦变换雏形，考查了从“线到面”的轨迹扫描思想。
2. 结论推广: 若集合点集形式为 $y=f(x)+t(g(x)-f(x)),t\in [0,1]$ 且在指定区间内 $g(x)⩾f(x)$，则该点集直接对应于下边界为 $y=f(x)$、上边界为 $y=g(x)$ 所围成的扫掠面。当上边界为严格下凸函数时，常利用外接多边形的面积进行“无积分”的放缩比对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率
• 1998-全国卷理-16
• 2000-上海卷理-20 解-极坐标与直角坐标的互化