2024-天津卷-09 单-五面体体积

本题导读

本题考查拟柱体（楔体）的体积，以及割补法求体积。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）一个五面体 $ABC-DEF$.已知 $AD\parallel BE\parallel CF$，且两两之间距离为 1.并已知 $AD=1$，$BE=2$，$CF=3$.则该五面体的体积为 (　　) A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　B. $\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　D. $\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取核心不变量——“直截面”： 已知 $AD\parallel BE\parallel CF$ 为一组空间平行线。由于两两之间距离为 1，这意味着用一个与这三条侧棱严格垂直的平面去截它，所得到的截面三角形（直截面）的三条边长全部等于 1。因此，该几何体的直截面为边长为 1 的正三角形，其面积为 $S_{\text{直}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
2. 选择解题策略：

• 策略一（倒置拼接法）：侧棱长 1, 2, 3 成等差数列。可以复制一个相同的五面体，将其上下颠倒、长短相依地拼合在侧棱上。由于 $1+3=2+2=3+1=4$，两个五面体会组合成一个侧棱长恒等于 4 的标准柱体，体积为目标体积的两倍。
• 策略二（二级结论法）：直接套用斜截三棱柱（截角三棱柱）体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{直}}(a+b+c)$，利用三条侧棱的算术平均高度乘以直截面面积直接求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

前期准备：精算直截面面积 因为 $AD\parallel BE\parallel CF$，在空间中作一个与三条侧棱全量垂直的截面。由于平行线间的几何距离为 1，则该截面三角形的三边长均为 1，为等边三角形。 该直截面的面积为： $S_{\text{直}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {\text{边长}}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

方法一：倒置拼接法（推荐）

该五面体的三条侧棱长分别为 1, 2, 3，满足等差对称性，即 $1+3=2+2=4$。 复制一个与原几何体完全相同的五面体，将其在空间中进行倒置翻转，并与原五面体实施侧棱对接组装：

• 将新五面体长度为 3 的侧棱拼在原五面体长度为 1 的侧棱 $AD$ 的延长线上，总长变为 $1+3=4$；

• 将新五面体长度为 2 的侧棱拼在原五面体长度为 2 的侧棱 $BE$ 的延长线上，总长变为 $2+2=4$；

• 将新五面体长度为 1 的侧棱拼在原五面体长度为 3 的侧棱 $CF$ 的延长线上，总长变为 $3+1=4$。

此时，由于拼接后的三条侧棱长度全部相等且等于 4，且直截面形状未变，这两个不规则五面体组合成了一个侧棱长为 $L=4$ 的标准正三棱柱。 该组合三棱柱的体积为： $V_{\text{总}}=S_{\text{直}}\times L=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4=\sqrt{3}$

因为该标准三棱柱是由两个完全全等的五面体拼接而成的，所以单个五面体的体积占总体积的一半： $V=\frac{1}{2}{V}_{\text{总}}=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

方法二：截角三棱柱体积公式

在立体几何中，若一个几何体的三条侧棱相互平行、长度分别为 $a,b,c$，且直截面面积为 $S_{\text{直}}$，则该截角三棱柱的体积公式为： $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{直}}(a+b+c)$ (其几何代数本质即用侧棱的“算术平均高度” $\frac{a+b+c}{3}$ 来等价代替标准柱体的高 $h$)

直接将本题数据代入公式中，侧棱长 $a=1,b=2,c=3$，直截面面积 $S_{\text{直}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$： $V=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times (1+2+3)=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 6=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行线间直截面的正三角形判定、空间不规则几何体体积的对称组装化归、截角三棱柱平均高度体积公式。
2. 核心方法：倒置全等拼接法、二级结论公式法。
3. 避坑指南：

• 避免繁琐割补计算：本题若采用常规割补法（如从高度 1 处横向水平切开，分为一个底面为正三角形的标准三棱柱和一个斜顶四棱锥），在考场上计算量较大，求解四棱锥的高时易因计算繁琐导致失误。优先考虑利用图形的对称特征进行整体拼接。
• 混淆直截面与斜底面：避免误将 $△ABC$ 或 $△DEF$ 的面积当作柱体的底面积。由于侧棱长短不一，顶面与底面在空间中都是倾斜的，并非垂直于侧棱的净截面，不能直接用底面积乘以高。只有直截面才能作为基准面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间几何体的体积计算，属于不规则拟柱体的体积变形题。通过引入侧棱相互平行但长度不同的性质，考查空间几何结构的转化化归能力。
2. 结论推广：截角三棱柱体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{直}}(a+b+c)$ 具有普适性，不仅适用于侧棱长构成等差数列的特殊情况，当三条侧棱长度为任意正实数时，该公式依然成立。熟练掌握此类特殊多面体的二级结论，可以有效精简客观题的推导步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-18 解-线面平行
• 2013-浙江卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-10 单-空间几何体的结构特征