本题导读
本题考查古典概型，以及条件概率。
📌【题干】
Question
（2024年天津卷）A，B，C，D，E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 A 的概率为 ______；已知乙选了 A 活动，他再选择 B 活动的概率为 ______.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一空（无条件古典概型）：
- 总事件数：从 5 个不同活动中无顺序地任选 3 个，总方案数为 。
- 目标事件数：甲选到 A 活动，说明 A 活动被固定，只需从剩下的 4 个活动中任意再挑选 2 个，方案数为 。两者相除即可求出概率。
- 第二空（条件概率）：
- 方法一（公式法）：分别计算出“选 A 的概率 ”与“同时选 A 且选 B 的概率 ”，套用条件概率公式 。
- 方法二（缩小样本空间法，推荐）：已知乙选了 A 活动，意味着原样本空间已经发生坍缩，可直接将“包含 A 活动的组合”作为全新的样本空间。在此基础上，清点出“同时包含 B 活动的组合数”，直接作比即可。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
📌 第一空：求解甲选到 A 的无条件概率
方法一：经典组合公式法 从 A，B，C，D，E 这 5 种活动中随机任意抽取 3 个参加，基本事件的总数为：
设事件 为“甲选到 A 活动”。既然 A 活动是必选的，那么甲只需要从剩下的 B，C，D，E 这 4 个活动中再任选 2 个即可，因此事件 包含的基本事件数为：
根据古典概型概率公式，甲选到 A 活动的概率为：
方法二：全样本空间列举法 穷举从 5 个活动中选 3 个的所有可能组合，共 10 种情况： 其中包含 A 活动的情况共有 6 种。 故概率为：
📌 第二空：已知选 A 的前提下，再选 B 的条件概率
方法一：缩小样本空间法 由于前提条件已知“乙选了 A 活动”，直接将样本空间聚焦于包含 A 的 6 种情况：
在这个新样本空间内（总数为 6），清点同时包含 B 活动的情况，满足要求的项为：
因此，在此前提下，再选择 B 活动的条件概率为：
方法二：标准条件概率公式法 设事件 为“选了 A 活动”，事件 为“选了 B 活动”。 由第一空推导可知，选 A 活动的整体概率为： 。
事件 表示“同时选了 A 活动与 B 活动”。即 A, B 两个位置被固定，只需要从剩余的 3 个活动（C, D, E）中任选 1 个补位，其概率为：
根据条件概率公式 ，代入概率值进行化简：
【答案】： ；
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：古典概型组合数公式的运用、条件概率的两种求解路径（公式法与缩小样本空间法）。
- 核心方法：缩小样本空间等价变换法（处理古典概型条件概率题的高效方法）。
- 避坑指南：
- 混淆“条件概率”与“无条件概率”：部分考生在计算第二空时，容易忽略前提条件，直接计算“同时选 A 且选 B 的概率”，从而错填了 。当题目中出现“在……前提下”、“已知……”等限定词时，属于条件概率问题，样本空间的分母需要进行调整。
- 列举防漏原则：在使用列举法时，建议按照字母或数字顺序进行书写，避免因乱序导致频数统计重复或遗漏。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查古典概型基本计数与条件概率的基本概念，属于高考概率板块中经典的保底填空题型。
- 结论推广：在古典概型的框架内，缩小样本空间法（即 ）在求解填空题时效率较高。其核心逻辑是将满足已知条件 的集合直接视作新的全集，从而将概率比对转化为新集合内部元素的清点，有助于直观、准确地完成排列组合类条件概率题的求解。
🔗【关联脉络】
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