本题导读
本题考查全称量词命题及其否定，以及存在量词命题及其否定。
📌【题干】
Question
（2024年新高考II卷）已知命题 ，命题 ，则（ ）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析命题 ：这是一个全称命题。要判定它为真，需要对每一个实数 都成立；要判定它为假，只需找到一个使不等式不成立的反例。
- 分析命题 ：这是一个存在量词命题。要判定它为真，只需找到一个大于 0 的实数 满足方程 即可。
- 判定否命题：若原命题为假，则其否定命题为真，反之亦然。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
第一步：判定命题 的真假 命题 断言：对任意实数 ，都有 我们尝试寻找反例：令 此时 显然 ，故不等式不成立 所以命题 是假命题，从而 是真命题
第二步：判定命题 的真假 命题 断言：存在一个大于 0 的实数 ，满足 解方程 ： 解得 其中 满足条件 且 因为找到了实例，所以命题 是真命题
第三步：综合结论 因为 为真， 为真，对照选项可知 B 符合
故选：B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：全称量词命题与存在量词命题的真假判别、非命题（ ）的真假对立原理、简单绝对值不等式与三次方程的求解。
- 核心方法：特例防御法与实例追踪法。处理全称命题时，脑海中的第一第一反应是“找茬”——寻找能破坏平衡的极端边界点（如本题中使绝对值为 0 的 ）；而处理存在性命题时，其技术核心在于“求解”——通过实实在在的运算把根抠出来，只要有一个根落在限定疆域内，即宣告得证。
- 避坑指南：
- 避坑指南 1（误将命题否定与否命题混淆）：部分同学在审题时，容易把“命题的否定 ”习惯性错看成高一传统意义上的“否命题”。务必明确：命题的否定只否定结论（量词与条件互换），且真假性与原命题严格相反。
- 避坑指南 2（忽视存在量词的自变量定义域限制）：在判定命题 时，个别同学算出了 后，光注意到 和 不满足 ，一时粗心大意漏掉了 这个合法孤儿根，误认为 是假命题，从而错选了 D。考场上对于方程的所有根，必须进行全面逐一核对。
📖【试题探源与推广】
Tip
\hline \text{量词类型} & \text{原命题 } P \text{ 的证实路径} & \text{否定命题 } \neg P \text{ 为真的充要条件} \\ \hline \text{全称命题 } \forall x \in M, f(x) & \text{全域无死角成立（解集 } = M) & \text{在 } M \text{ 内至少逮到一个反例使 } f(x) \text{ 失效} \\ \hline \text{存在命题 } \exists x \in M, g(x) & \text{在 } M \text{ 内精准捕获至少一个实例} & \text{在 } M \text{ 全域内方程均无解（解集 } \cap M = \varnothing) \\ \hline \end{array}$$ 本题完美地同时启动了该矩阵的两条路径： $p$ 抓到了反例，故 $\neg p$ 为真； $q$ 捞到了正根，故 $q$ 为真。公式化的不变量网络能让您在考场上拥有简化俯视逻辑的绝对清爽感。 3. 方法推广: 本题所展现的“利用特值反例快速求解全称、利用精确求解确证存在”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高一逻辑客观题的基础题型，未来当这一概念模型推广到选择性必修第二册中的“利用导数判定导函数 $f'(x)>0$ 是否全域恒成立（全称命题）”、或者是研究“超越方程 $\text{e}^x - kx = 0$ 在局域内是否存在实根（存在性命题）”的导数压轴大题时，其核心思路——**“寻找函数的临界极值点作为最弱防御边界，通过符号的保号性判定全域或局域的取值范围”**，其数学逻辑本质相通。内化这一套流程，是确保攻克整张卷客观题前段最稳固的核心。
- 试题探源: 本题源自人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中“全称量词与存在量词”章节后的基础过关检测题。新高考命题组作为全卷前瞻性的铺垫，特意分离了所有复杂的代数包装，用最朴素、最纯粹的量词结构考查考生的逻辑推理能力，引导日常教学必须重视对数学语言严密性的底座夯实。
- 结论推广: 可将此类双量词命题的真假抵消提炼为一般模型。设原命题为 ，其否定为 ：
🔗【关联脉络】
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