2024-新高考II卷-10 多-抛物线的几何性质

本题导读

本题考查抛物线的几何性质（焦半径性质），以及直线与圆的位置关系（相切判定）。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）抛物线 $C:y^2=4x$ 的准线为 $l$，$P$ 为 $C$ 上的动点，过 $P$ 作 $\odot A:x^2+(y-4{)}^2=1$ 的一条切线，$Q$ 为切点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$，则（ ）

A. $l$ 与 $\odot A$ 相切

B. 当 $P,A,B$ 三点共线时，$|PQ|=\sqrt{15}$

C. 当 $|PB|=2$ 时，$PA\perp AB$

D. 满足 $|PA|=|PB|$ 的点 $P$ 有且仅有 $2$ 个

🔍【思路分析】

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1. 基础属性（A）：确定抛物线准线方程 $x=-p/2$ 和圆的圆心半径。计算圆心到准线的距离，与半径比较。
2. 切线长计算（B）：利用 $P,A,B$ 三点共线（且 $PB\perp l$）推断出点 $P$ 的纵坐标。求出 $P$ 点坐标后，利用勾股定理 $|PQ|=\sqrt{|PA{|}^2-r^2}$ 计算。
3. 垂直判定（C）：已知 $|PB|$ 确定 $P$ 点横坐标，进而得到坐标。利用向量数量积判定 $PA$ 与 $AB$ 是否垂直。
4. 交点分析（D）：利用抛物线定义将 $|PB|$ 转化为 $|PF|$（$F$ 为焦点）。问题转化为点 $P$ 到 $A,F$ 距离相等，即 $P$ 在 $AF$ 的中垂线上。分析直线与抛物线的交点个数。

✅【答案】

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ABD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定选项 A（位置关系） 抛物线 $C:y^2=4x$ 中，$p=2$，准线 $l$ 方程为 $x=-1$ $\odot A$ 的圆心为 $A(0,4)$，半径 $r=1$ 圆心 $A$ 到直线 $l:x+1=0$ 的距离 $d=\frac{|0+1|}{1}=1$ 由于 $d=r$，所以直线 $l$ 与 $\odot A$ 相切 故 A 选项正确

第二步：判定选项 B（切线长） 当 $P,A,B$ 三点共线时，因为 $PB\perp l$ 且 $l$ 是垂直于 $x$ 轴的直线，故 $PB$ 是平行于 $x$ 轴的水平线 由此可知 $P,A,B$ 三点的纵坐标相同 因为 $A(0,4)$，所以 $y_P=4$ 代入 $y^2=4x$ 得 $16=4x⟹x_P=4$ 点 $P$ 坐标为 $(4,4)$ $|PA{|}^2=(4-0{)}^2+(4-4{)}^2=16$ 在 $Rt△PQA$ 中，根据勾股定理： $|PQ|=\sqrt{|PA{|}^2-r^2}=\sqrt{16-1^2}=\sqrt{15}$ 故 B 选项正确

第三步：判定选项 C（垂直关系） 若 $|PB|=2$，点 $P(x,y)$ 到准线 $x=-1$ 的距离为 $x-(-1)=2⟹x=1$ 代入 $y^2=4x$ 得 $y^2=4⟹y=\pm 2$ 不妨取 $P(1,2)$，则 $B(-1,2)$，$A(0,4)$ $\overrightarrow{PA}=(0-1,4-2)=(-1,2)$ $\overrightarrow{AB}=(-1-0,2-4)=(-1,-2)$ $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{AB}=(-1)(-1)+2(-2)=1-4=-3\ne 0$ 故 $PA$ 与 $AB$ 不垂直 故 C 选项错误

第四步：判定选项 D（交点个数） 设抛物线的焦点为 $F(1,0)$。由抛物线定义知，点 $P$ 到准线的距离 $|PB|$ 等于点 $P$ 到焦点的距离 $|PF|$ 条件 $|PA|=|PB|$ 等价于 $|PA|=|PF|$ 这说明点 $P$ 在线段 $AF$ 的垂直平分线上 $A(0,4)$，$F(1,0)$，中点坐标为 $(1/2,2)$，$k_{AF}=\frac{0-4}{1-0}=-4$ 中垂线斜率为 $1/4$，方程为 $y-2=\frac{1}{4}(x-\frac{1}{2})$ 这是一条斜率大于 0 的直线，它与开口向右的抛物线 $y^2=4x$ 必然有两个交点（可通过联立方程判别式 $\Delta >0$ 验证） 故 D 选项正确

故选：ABD

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线第一几何定义的等价位移转化（ $|PB|=|PF|$ ）、点到直线距离公式及圆的切线长勾股定理应用、垂直平分线解析方程构建、直线与圆锥曲线的联立交点计数（判别式检验）。
2. 核心方法：定义流与中垂线同构转化（压轴题破题特技）。在处理涉及“圆锥曲线上动点到准线/焦点的距离与到外部定点距离相等”的题型时，最忌讳的是盲目给 $P$ 设坐标 $(x,y)$ 然后强行去列写庞大的无理双根式方程。本题演示的**“定义转化流”**，反客为主，利用抛物线定义将准线跨度 $|PB|$ 直接无损消去变更为焦半径 $|PF|$，从而将复杂的曲线距离约束瞬间转换为初中纯粹的线段中垂线几何轨迹。这样直接将二阶解析问题简化至直线联立，保证了思维的绝对高效与清爽。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（B选肢中共线方向理解偏转）：部分同学在处理“ $P,A,B$ 三点共线”时，由于习惯思维，误以为这是一条常规的斜直线，试图设出斜率 $k$ 或者是联立大面积方程。务必牢记： $PB\perp l$ 这一垂直条件已经把 $PB$ 的方向死死在水平线轨道上，共线意味着三点全盘横向平齐。
• 避坑指南 2（D选肢中盲目依赖直觉而漏掉判别式复核）：虽然本题中中垂线直线的斜率为 $\frac{1}{4}>0$，直观上容易觉得一定会和开口向右的抛物线相交，但在更严苛的变异题中（如圆心位置改变导致中垂线整体大幅度上移或下移），直线完全可能与抛物线产生分离（ $\Delta <0$ ）。考场上最后一步务必在草稿纸上花 5 秒钟进行 $\Delta =16^2-4\times 1\times 30=136>0$ 的安全防御复核。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中“抛物线及其几何性质”章节后的进阶综合复习题。新高考命题组去除了老高考中诸如“多动弦交错、非对称型双斜率积分”等复杂的生硬代数包装，选择将最古老、最本源的“阿波罗尼斯抛物线焦半径定义”与圆的切线长几何不变量进行齐次同构缝合，纯粹考查考生对平面轨迹拓扑同构的洞察力。
2. 结论推广: 将此类“到外部定点距离等于到准线距离”的模型提炼为一般模型：

• 设抛物线方程为 $y^2=2px$，其焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。
• 若曲线上动点 $P$ 满足到外部任意定点 $A(x_0,y_0)$ 的距离严格等于到准线的距离（即 $|PA|=|PB|$ ）。
• 则该系统的不变量拓扑范围宣告：动点 $P$ 的代数轨迹有且仅有线段 $AF$ 的垂直平分线与抛物线的交点集合。其对应的中垂线直线方程恒刚性锁定满足如下齐次构型： $\left(x_0-\frac{p}{2}\right)x+y_{0}y-\frac{x_0^2+y_0^2-\frac{p^2}{4}}{2}=0$
• 本题中 $p=2,x_0=0,y_0=4$。代入本题数据验证直线方程： $(0-1)x+4y-\frac{0^2+16-1}{2}=0⟹-x+4y-\frac{15}{2}=0⟹2x-8y+15=0$。与解析完全一致！掌握这一“中垂线包络网络”，未来在任何模拟考的多选题中均可达成秒解。

1. 方法推广: 本题第（4）问所展现的“利用几何体第一定义分离外部无理项、将异构距离转化为同构中垂线”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。是选择题中后段稳定得分的基础，未来在解答题中段的“解析几何大题第一问，求解双曲线/椭圆焦半径与其包络圆相切的临界控制范围”、或者是新定义大题中的“利用两点间距离恒定转化特征向量”时，其核心思路——“寻找空间核心的不变量变换链条，通过引入等价几何替身（如用 $|PF|$ 代换 $|PB|$ ）消除冗余的二次型根式，实现复杂轨迹向一元代数方程的化归”，其数形转换的代数本质相通。掌握这一方法，能帮助在解析几何板块形成长期稳定的方法储备

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖北卷理-15 填-圆的性质
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义