2024-新高考II卷-16 解-切线和极值

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数分析法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）已知函数 $f(x)={\text{e}}^x-ax-a^3$.

(1) 当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 $0$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（切线方程）：利用导数的几何意义。
   • 求出 $f^{\prime }(x)$ 并代入 $x=1$ 得到切线斜率 $k$。
   • 求出切点坐标 $(1,f(1))$。
   • 使用点斜式写出方程并化简。
2. 第二问（极值与参数范围）：
   • 极值存在性：对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x-a$。讨论 $a$ 的正负，确定只有 $a>0$ 时才存在极值点 $x=\ln a$。
   • 极小值判定：分析导函数符号，确定 $x=\ln a$ 为极小值点。
   • 建立不等式：将极小值 $f(\ln a)<0$ 转化为关于 $a$ 的不等式。
   • 构造函数求解：由于不等式 $a-a\ln a-a^3<0$ 较为复杂，构造新函数 $g(a)$，利用其单调性及特殊值（如 $g(1)$）确定 $a$ 的范围。

✅【答案】

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(1) $(e-1)x-y-1=0$

(2) $a>1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解切线方程： 当 $a=1$ 时，$f(x)={\text{e}}^x-x-1$。 求导得：$f^{\prime }(x)={\text{e}}^x-1$。

• 计算斜率：$k=f^{\prime }(1)={\text{e}}^1-1=\text{e}-1$。

• 计算切点：$f(1)={\text{e}}^1-1-1=\text{e}-2$。切点为 $(1,\text{e}-2)$。

• 写出方程：$y-(\text{e}-2)=(\text{e}-1)(x-1)$。 整理得：$y=(\text{e}-1)x-\text{e}+1+\text{e}-2⟹\mathbf{y}=(\text{e}-1)\mathbf{x}-1$。

(2) 求解参数 $a$ 的取值范围： 已知 $f(x)={\text{e}}^x-ax-a^3$，其导函数为 $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x-a$。

• 讨论极值存在性：

  • 若 $a⩽0$，则 $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x-a>0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，无极值。
  • 若 $a>0$，令 $f^{\prime }(x)=0⟹{\text{e}}^x=a⟹x=\ln a$。 当 $x\in (-\infty ,\ln a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (\ln a,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 所以 $f(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得极小值。

• 建立关于 $a$ 的不等式： 极小值 $f(\ln a)={\text{e}}^{\ln a}-a\ln a-a^3=a-a\ln a-a^3$。 由题意知 $a-a\ln a-a^3<0$。 由于 $a>0$，两边同除以 $a$ 得：$1-\ln a-a^2<0$。

• 构造函数分析范围： 设 $g(a)=1-\ln a-a^2$ ($a>0$)。 求导得：$g^{\prime }(a)=-\frac{1}{a}-2a$。 因为 $a>0$，所以 $g^{\prime }(a)<0$ 恒成立，即 $g(a)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 注意到 $g(1)=1-\ln 1-1^2=0$。 要使 $g(a)<0$，根据单调递减性质，必有 $a>1$。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何切线“点斜双统一”操作、含参导函数的零点变号域分类讨论、极值点保号性单调夹逼、基于“单调函数唯一特殊零点”的不等式参数域收拢。
2. 核心方法：分类讨论的参数分离法与辅助函数单调性流。作为导数综合大题的第二问，最忌讳的是在不等式 $a-a\ln a-a^3<0$ 面前手忙脚乱、盲目试图去大面积分离参数写成 $\frac{1}{a^2}-\frac{\ln a}{a^2}<1$ 这种极高耗能的构型。本题演示的**“同除降次、整体构造法”**，直接利用 $a>0$ 的正定性将超越式化简为二次项与对数项的极简缝合函数 $g(a)$。利用 $g^{\prime }(a)<0$ 的绝对保号特征避开所有复杂的二阶导数讨论，利用特殊零点 $g(1)=0$ 达成瞬时快速求解，展现了极其高级的代数大局观。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（第二问直接漏掉 $a⩽0$ 的严密排伪步骤）：很多考生看到 ${\text{e}}^x=a$ 习惯性默认为 $a>0$，在解答题中直接从 $a>0$ 开始动笔。在严苛的高考主观题阅卷标准中，缺少对 $a⩽0$ 导致无极值这一特殊维度的讨论，属于原则性逻辑漏解，会被无情扣除 2 分的分类讨论基本功分。
• 避坑指南 2（两端同除未知参数时忽略符号防御）：个别同学在从 $a-a\ln a-a^3<0$ 向 $1-\ln a-a^2<0$ 跃迁时，没有在前置步骤中严密书写“因为 $a>0$ ”这一声明。如果参数本身正负未定，盲目约分会导致不等号方向发生致命偏转，全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版选择性必修第二册第六章《导数及其应用》中“利用导数研究函数的极值与不等式”章节后的进阶标准大题。新高考命题组通过将指对数的基本增长特征与幂函数二次型进行极简嵌套，分离了过往模拟卷中过度堆砌的“双变量偏移、隐零点复杂求导”等刻意计算负担的生硬套路，转而回归对**“一阶导数基本单调性控制网”与“分类讨论逻辑链严密性”**的纯粹考查，属于一道立意极高、完美体现高考选拔特性的经典主观题。
2. 结论推广（基于指对数共振的“极值恒负通用参数模型”）： 可将此类“指数项与线性项混合构型求极值参数范围”的模型提炼为一般模型网络。设通用复合超越函数为 $F(x)={\text{e}}^x-\lambda x-{\lambda }^k$ （其中满足 $\lambda \in \mathbb{R}$ ， $k$ 为已知非零常数）：

• 该系统存在极小值的充要前置硬红线为： $\lambda >0$（变号零点强制锁定在 $x_0=\ln \lambda$ ）；
• 此时，该曲线极小值无条件突破零线满足 $F(x_0)<0$ 的代数不变量充要公式为： $1-\ln \lambda -{\lambda }^{k-1}<0$
• 特别地，当本题中 $k=3$ 时，公式塌陷为 $1-\ln a-a^2<0$。由于辅助算子 $G(\lambda )=1-\ln \lambda -{\lambda }^{k-1}$ 在 $\lambda =1$ 处触发共振零点（ $G(1)\equiv 0$ ），结合其绝对单调性，其终极范围恒刚性服从： $\lambda >1$。记住这一“指对数极值共振网络”，未来在任何模拟考的填空题或选择题尾关看到此类同构多项式，直接肉眼通关，秒写出范围 $a>1$。

3. 方法推广（由低阶参数筛选向全域超越多项式消元运算能力的泛化）： 本题第（2）问所展现的“通过齐次项约分降幂、引入辅助函数消去复合因式单调性自由度”的思想，是攻克整张试卷最后一关 17 分终极压轴题的核心方法。未来在解答题压轴的“超越导数综合压轴大题中，利用切线放缩对割线进行全域夹逼控制”、或者是研究“双参数变量下的零点范围逼近”时，其核心思路——“抓住符号改变的绝对边界，引入单调性不变量消除系统的冗余自由度，实现高维超越空间向静态一元不等式的化归”，其数形转换的代数变形本质相通。掌握这一方法，能让您在面对整张卷的导数板块时，拥有绝对居高临下的较强的解题大局观。函数，哪怕最后结果算错，也能拿到 10 分以上的步骤分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-重庆卷理-20