2024-新高考I卷-06 单-函数的性质

本题导读

本题考查分段函数在整个实数集 $\mathbb{R}$ 上单调递增的条件. 解题关键在于：1. 每一段函数在各自区间内必须单调递增；2. 在分段点处的函数值必须满足不间断或向上跳跃的衔接条件.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-2ax-a,& x<0\\ {\text{e}}^x+\ln (x+1),& x\ge 0\end{array}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,0]$　　　　B. $[-1,0]$　　　　C. $[-1,1]$　　　　D. $[0,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 分析 $x\ge 0$ 段：利用导数判断该段的单调性，并求出该段的最小值（即分段点处的函数值 $f(0)$）.
2. 分析 $x<0$ 段：该段为二次函数，由于开口向下，若要在 $(-\infty ,0)$ 上递增，则对称轴必须在分段点 $0$ 的右侧（或重合）.
3. 衔接条件：为了保证全定义域递增，左半段在 $x\to 0$ 时的极限值不能大于右半段在 $x=0$ 处的函数值.
4. 综合不等式组：联立上述条件求解 $a$ 的交集.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $x\ge 0$ 时的单调性 对于 $f(x)={\text{e}}^x+\ln (x+1)$，其导数为： $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x+\frac{1}{x+1}$ 当 $x\ge 0$ 时，${\text{e}}^x\ge 1$ 且 $\frac{1}{x+1}>0$，故 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立. 所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，其最小值为 $f(0)={\text{e}}^0+\ln (1)=1$.

第二步：分析 $x<0$ 时的单调性 对于 $f(x)=-x^2-2ax-a$，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为 $x=\frac{-(-2a)}{2(-1)}=-a$. 要在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，对称轴必须满足： $-a\ge 0⟹a\le 0$.

第三步：分析分段点 $x=0$ 处的衔接情况 函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，除了每段内部递增 外，还需满足左侧区间的上界不超过右侧区间的下界. 即：${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)\le f(0)$ $-0^2-2a(0)-a\le 1$ $-a\le 1⟹a\ge -1$

第四步：求交集得出结论 综上所述，需满足： $\{\begin{array}{l}a\le 0\\ a\ge -1\end{array}⟹-1\le a\le 0$. 即 $a\in [-1,0]$.

故选：B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：第三方函数全局单调性的充要条件判断、开口二次函数的近似单调边界、超越函数导数符号的第三方、第三方函数断点处的极限值控制。
2. 核心方法：区间单调性与边界单调性联合筛选法。处理分段函数全域单调性问题时，最标准、模具丢分的扎实程序分为两步：第一步分别各子区间内导数或特征轴的单调不等式；第二步在分段点$x_0$处实施“左高优于右高（$\text{左开边界}\le \text{右闭边界}$）”的刚性高度防御，将这两层不等式取交集即可。
3. 避坑指南：

• 避坑指南1（漏掉积分点处的连通条件）：很多考生在做题时，请注意外围二次函数的简单轴要求$a\le 0$，错误这样就结束了，直接错选了A。 特别明确：如果上方段的起点高度视为上方段的起点高度，函数在跳跃点会发生瞬间瞬间下降，彻底瓦解单调性。
• 避坑指南2（二次函数公式负号记错）：部分同学在实习$-x^2-2ax-a$的最快轴时，由于粗心把一次系数$-2a$的负号分布弄错，误算成估价为$a$，导致第一步的符号方向复杂。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题底层人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》以及必修第二册第六章《导数及其》中阵函数单调性综合练习题的升级。新高考题组通过将高一的二次函数旋转轴位置、高度衔接与高二的指对数复合导数有界性进行“长跨度、跨学段”的塔设计，目的是重点考查考生的思维严密性与概念的通达度。
2. 结论推广：（通用分段函数断点单调性的“高度模型”）：我们可以将此类分段函数全局增量模型提炼为一个通用的分段分段网络：设已知分段函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x<x_0\\ h(x),& x\ge x_0\end{array}$。若$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格单调递增，其成立的充电要条件是三个范围组成的联合不等式组： $\{\begin{array}{l}g(x)\text{ 在 }(-\infty ,x_0)\text{ 上递增}\\ h(x)\text{ 在 }[x_0,+\infty )\text{ 上递增}\\ {\lim }_{x\to x_0^{-}}g(x)\le h(x_0)\end{array}$ 本题正是该标准模型的完美形象化体现。
3. 方法推广:本题所开展的“各单调区间各自为战、边界切断点严格分割”的分类筛选思想，具有极强的通性通性通法特征。不仅是高一功能测定题的基础支撑，未来当这一概念模型推广到高三导数压轴大题最后一函数问中的“含参复合零点个数分类讨论”、“利用凹凸性切线放缩进行全域区间夹逼消元”时，其基础的方法—— “寻找函数的临界驻点，通过画出局部草图控制边界衔接的不等号方向”，其操作本质上完全合流。

🔗【关联脉络】

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