2024-甲卷文-02 单-集合交集

本题导读

本题考查交集运算。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}$，$B=\{x\mid x+1\in A\}$，则 $A\cap B=$（ ）

A. $\{1,2,3\}$　　B. $\{3,4,9\}$　　C. $\{1,2,3,4\}$　　D. $\{2,3,4,5\}$

🔍【思路分析】

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1. 明确集合 $A$ 的元素组成。
2. 根据条件 $x+1\in A$ 推导集合 $B$ 的元素：由 $x+1$ 分别取遍集合 $A$ 中的每一个值，反解出对应的 $x$ 值。
3. 利用交集定义 $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$，提取两个集合的公共元素。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：化简集合 $B$

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}$，集合 $B$ 的特征性质为 $x+1\in A$。 也就是说， $x+1$ 的取值只能是 $1,2,3,4,5,9$。 分别求出对应的 $x$ 的值：

• 当 $x+1=1⟹x=0$
• 当 $x+1=2⟹x=1$
• 当 $x+1=3⟹x=2$
• 当 $x+1=4⟹x=3$
• 当 $x+1=5⟹x=4$
• 当 $x+1=9⟹x=8$

由此可得集合 $B$ 的元素列举法表示为： $B=\{0,1,2,3,4,8\}$

🛠 第二步：求交集 $A\cap B$

对照集合 $A$ 与集合 $B$ 的元素： $A=\{1,2,3,4,5,9\}$ $B=\{0,1,2,3,4,8\}$

找出两个集合中同时存在的公共元素，即为： $1,2,3,4$

因此，交集满足： $A\cap B=\{1,2,3,4\}$

故选：C。

🛠 第一步：化简集合 $B$

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}$，集合 $B$ 的特征性质为 $x+1\in A$。 也就是说， $x+1$ 的取值只能是 $1,2,3,4,5,9$。 分别求出对应的 $x$ 的值：

• 当 $x+1=1⟹x=0$
• 当 $x+1=2⟹x=1$
• 当 $x+1=3⟹x=2$
• 当 $x+1=4⟹x=3$
• 当 $x+1=5⟹x=4$
• 当 $x+1=9⟹x=8$

由此可得集合 $B$ 的元素列举法表示为： $B=\{0,1,2,3,4,8\}$

🛠 第二步：求交集 $A\cap B$

对照集合 $A$ 与集合 $B$ 的元素： $A=\{1,2,3,4,5,9\}$ $B=\{0,1,2,3,4,8\}$

找出两个集合中同时存在的公共元素，即为： $1,2,3,4$

因此，交集满足： $A\cap B=\{1,2,3,4\}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：描述法表示的集合向列举法表示的转化；集合交集不变量元素的提取。
2. 核心方法：一阶线性对应消元列举法。
3. 避坑指南：

• 在解集合 $B$ 的条件 $x+1\in A$ 时，容易因粗心误将 $A$ 的元素加 1。请牢记：是 $x+1$ 在集合 $A$ 中，求 $x$ 时应当将 $A$ 中的每一个元素分别减去 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2024年全国甲卷高考文科数学真题，属于全卷开篇的无障碍基础题，主要筛查考生对集合基本运算与一阶代数平移的混合基本功。
2. 结论推广： 若有限数集 $A=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$，定义变换集 $B=\{x\mid x+k\in A\}$。 通过平移代换可知，集合 $B$ 本质上是集合 $A$ 在数轴上整体向左平移 $k$ 个单位所得的图形： $B=\{x_1-k,x_2-k,\dots ,x_n-k\}$ 两者的交集即为平移前后重叠的离散点集，可通过数轴或列举快速核验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-01 单-集合交集
• 2013-四川卷理-01 单-集合交集
• 2013-天津卷理-01 单-集合交集