2024-甲卷文-13 填-辅助角公式

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式，以及正弦函数的图象与最值。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）函数 $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 在区间 $[0,\pi ]$ 的最大值为 _______________.

🔍【思路分析】

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1. 公式恒等变换（降名统一）：

• 观察解析式 $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$，属于标准的 $A\sin x+B\cos x$ 结构。
• 利用辅助角公式，提取振幅 $\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$，将其化简为标准的单一正弦正弦函数 $2\sin (x-\phi )$。

2. 相位区间映射（域判定）：

• 已知自变量 $x\in [0,\pi ]$。
• 通过平移变换，求出整体相位（复合变量） $x-\phi$ 的实际数值区间。

3. 寻找波峰取得最值：

• 在正弦波形的相位区间内，观察是否包含让正弦函数取得最大值 $1$ 的临界点（即相位等于 $\frac{\pi }{2}$）。
• 若包含，则最大值直接等于振幅值；若不包含，则在边界端点处取得最大值。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：利用辅助角公式化简解析式

对函数 $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 提取系数平方和的开根号（振幅）： $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$

将解析式变形，提取公因子 $2$： $f(x)=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\dots \dots \text{(1)}$

根据特殊角的三角函数值，已知 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ 且 $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 将这两项常数代入 ① 式中： $f(x)=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)$

运用两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 进行逆向合并： $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\dots \dots \text{(2)}$

🛠 第二步：推导整体相位的取值范围

题目给定自变量 $x$ 的硬性约束闭区间为： $0⩽x⩽\pi$

为了考察 ② 式中正弦函数的单调性与最值，各连不等式同时减去 $\frac{\pi }{3}$，求出整体复合相位 $\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的取值流形： $0-\frac{\pi }{3}⩽x-\frac{\pi }{3}⩽\pi -\frac{\pi }{3}$ $-\frac{\pi }{3}⩽x-\frac{\pi }{3}⩽\frac{2\pi }{3}\dots \dots \text{(3)}$

🛠 第三步：结合正弦函数性质锁定最大值

令复合变量 $t=x-\frac{\pi }{3}$，由 ③ 式知 $t\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$。

, highlighting that the maximum value of 1 is achieved at the peak t = pi/2]

根据标准正弦函数 $y=\sin t$ 的大局图象特征：

• 函数在 $t=\frac{\pi }{2}$ 时，取得全局最大值 $\sin \frac{\pi }{2}=1$。

比较临界点与边界点的大小： 因为 $-\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}$ （由于 $\frac{1}{2}<\frac{2}{3}$ 成立）， 所以波峰相位 $t=\frac{\pi }{2}$ 极其完美地包含在了目标取值区间内部。

当 $t=x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}⟹x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$ 时（此时 $\frac{5\pi }{6}\in [0,\pi ]$ 合法），正弦项取得极大值 $1$。

代入原函数求得最大值： $f(x{)}_{\max }=2\times \sin \frac{\pi }{2}=2\times 1=2$

故答案为：$2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 的符号控制；正弦波形在平移截断区间上的最值点截获。
2. 核心方法：整体代换法（将 $x-\frac{\pi }{3}$ 视作整体，利用经典正弦曲线波峰直接判断）。
3. 避坑指南：

• 辅助角公式相位弄错：在化简 $\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 时，由于 $\cos$ 前是负号，合并后是两角差的正弦，即 $\sin (x-\frac{\pi }{3})$。如果粗心记成加号，会导致后续区间演变成 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]$，从而误判最大值在边界取得。
• 盲目代入端点：部分缺乏图像概念的考生，喜欢直接将端点 $x=0$ 和 $x=\pi$ 代入计算得到 $f(0)=-\sqrt{3},f(\pi )=\sqrt{3}$，然后断定最大值是 $\sqrt{3}$。请死记：解析几何与三角函数在闭区间求最值，必须优先核验驻点/波峰点是否落在区间内部。只要波峰在内部，最大值必然由波峰（振幅）统治。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2024年高考文科数学（全国甲卷）第13题，属于填空题的开篇位置。题目以最干净利落的初等三角复合函数形式呈现，属于高中三角函数的核心主干基本功筛查，重在引导考生通过图形平移直观解题。
2. 结论推广： 在复平面向量叠加与波动物理学中，本题模型可推广为**“正弦单波简谐振动闭区间包络面定理”**： 对于任何形如 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 的波动函数，其在定义域全集上的全局最大值恒为振幅常数 $M=\sqrt{a^2+b^2}$。 若给定的考查区间为 $[0,\pi ]$，当且仅当该函数的初始相位差 $\phi =\arctan \frac{b}{a}$ 满足特定的拓扑相位滞后，使得整体峰值点 $\frac{\pi }{2}-\phi$ 完美突入 $[0,\pi ]$ 内部时，区间最大值直接发生刚性破缺，与区间端点彻底分离，恒稳恒等于全局振幅： $f(x{)}_{\max }=\sqrt{a^2+b^2}$ 本题中 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$，核验相位通过后，可直接一眼心算写出最终答案 $2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-08 单-三角周期
• 2007-大纲卷II理-17 解-三角函数图象性质
• 2008-山东卷理-17