2024-甲卷理-09 单-向量坐标运算与充要条件

本题导读

本题考查向量垂直与平行的坐标表示，以及充分必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）已知向量 $\vec{a}=(x+1,x)$， $\vec{b}=(x,2)$，则（ ）

A. $x=-3$ 是 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 的必要条件

B. $x=-3$ 是 $\vec{a}\parallel \vec{b}$ 的必要条件

C. $x=0$ 是 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 的充分条件

D. $x=-1+\sqrt{3}$ 是 $\vec{a}\parallel \vec{b}$ 的充分条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 破译垂直条件：由 $\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 建立关于 $x$ 的方程，求出满足垂直关系的完整解集 $M_{\perp }$。
2. 破译平行条件：由 $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 建立关于 $x$ 的方程，求出满足平行关系的完整解集 $M_{\parallel }$。
3. 逻辑判定：利用集合包含关系进行判定。若小范围能推大范围，则为充分条件；若大范围能纳小范围，则为必要条件。将选项代入解集进行校验。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 的充要条件（构建解集 $M_{\perp }$）

若 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则其数量积（点积）为 $0$： $\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹(x+1)x+x\times 2=0$ 展开并合并同类项： $x^2+x+2x=0⟹x^2+3x=0⟹x(x+3)=0$ 解得： $x=0\text{ 或 }x=-3$

由此得出满足垂直关系的充要条件解集为： $M_{\perp }=\{0,-3\}$

• 校验 A 选项：必要条件要求 $\vec{a}\perp \vec{b}⟹x=-3$，即要求 $M_{\perp }\subseteq \{-3\}$。但当 $x=0$ 时向量同样垂直，即 $0\in M_{\perp }$ 但 $0\notin \{-3\}$，必要性不成立。故 A 错误；

• 校验 C 选项：充分条件要求 $x=0⟹\vec{a}\perp \vec{b}$，即要求 $\{0\}\subseteq M_{\perp }$。因为 $0\in \{0,-3\}$ 成立，充分性成立。故 C 正确。

第二步：求解 $\vec{a}\parallel \vec{b}$ 的充要条件（构建解集 $M_{\parallel }$）

若 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，则其交叉坐标乘积项满足： $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0⟹2(x+1)-x\times x=0$ 展开多项式并移项： $x^2-2x-2=0$

调用一元二次方程求根公式： $x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\times 1\times (-2)}}{2\times 1}=\frac{2\pm \sqrt{4+8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm \sqrt{3}$

由此得出满足平行关系的充要条件解集为： $M_{\parallel }=\{1+\sqrt{3},1-\sqrt{3}\}$

• 校验 B 选项：$x=-3$ 与解集 $M_{\parallel }$ 无交集，不能构成必要条件。故 B 错误；
• 校验 D 选项：充分条件要求 $\{-1+\sqrt{3}\}\subseteq M_{\parallel }$。但解集中的元素是 $1\pm \sqrt{3}$，符号错位导致 $-1+\sqrt{3}\notin M_{\parallel }$，充分性不成立。故 D 错误。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量垂直的坐标数量积公式、向量平行的交叉相乘公式、一元二次方程求根公式、充分与必要条件的判定。
2. 核心方法：逻辑条件的解集包含判定法。
3. 避坑指南：

• 公式记混：注意向量垂直和顺应公式的区别，数量积为 $0$（加法 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$）控制垂直，交叉乘积相等（减法 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$）控制平行。
• 变号干扰项：在解方程 $x^2-2x-2=0$ 时，D 选项故意设置了 $-1+\sqrt{3}$ 这一符号错位的干扰项，计算求根时必须细致，切勿因粗心错看符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面向量的坐标运算与常用逻辑用语的综合应用，属于高考小题中的中档题。旨在考查考生在代数变形中保持逻辑清晰度的能力。
2. 结论推广（充分必要条件的集合判别法）： 设条件 $P$ 对应的代数解集为 $A$，结论 $Q$ 对应的代数解集为 $B$。

• 充分条件判定：若满足 $A\subseteq B$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件（小范围能推大范围）；
• 必要条件判定：若满足 $A\supseteq B$，则 $P$ 是 $Q$ 的必要条件（大范围能纳小范围）。 本题中结论集合为 $B=\{0,-3\}$。C 选项条件集合为 $A=\{0\}$，因满足 $\{0\}\subseteq \{0,-3\}$，故 $x=0$ 是其充分条件。将逻辑句型转化为集合包含关系可以使判定更为准确。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定
• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定
• 2014-上海卷理-15 单-充分必要条件判定