2024-甲卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查展开式通项，以及系数的最值。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）${\left(\frac{1}{3}+x\right)}^{10}$ 的展开式中，各项系数中的最大值为 ____.

🔍【思路分析】

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1. 确定通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{k+1}={\text{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，写出第 $k+1$ 项。

2. 提取系数项：将含 $x$ 的部分分离，提取出系数 $a_k={\text{C}}_{10}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10-k}$．

3. 判定增减性：

   • 方法一（比值法）：通过研究 $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ 与 $1$ 的大小关系，确定系数序列的单调性，进而锁定最大值点。

   • 方法二（计算法）：根据二项式系数的对称性与 $\left(\frac{1}{3}\right)$ 幂次的下降趋势，在中间项附近进行取值估算。

4. 计算最值：代入确定的 $k$ 值，求出系数的最终结果。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：相邻项比值法（严谨通法）

1. 写出通项与系数表达式：

   展开式 $(\frac{1}{3}+x{)}^{10}$ 的通项为：

   $T_{k+1}={\text{C}}_{10}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10-k}{x}^k$ ($k=0,1,\dots ,10$)．

   设各项系数为 $a_k={\text{C}}_{10}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10-k}$．

2. 建立比值不等式：

   设第 $k+1$ 项系数最大，则应满足：

   $\{\begin{array}{l}{a}_k⩾a_{k-1}\\ a_k⩾a_{k+1}\end{array}$

   研究 $\frac{a_{k+1}}{a_k}⩾1$：

   $\frac{{\text{C}}_{10}^{k+1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{9-k}}{{\text{C}}_{10}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10-k}}=\frac{10-k}{k+1}\cdot 3⩾1$

   $30-3k⩾k+1⟹4k⩽29⟹k⩽7.25$．

3. 分析序列变化趋势：

   • 当 $k⩽7$ 时（即 $k$ 取 $0,1,\dots ,7$），$a_{k+1}>a_k$，系数序列递增；

   • 当 $k⩾8$ 时（即 $k$ 取 $8,9$），$a_{k+1}<a_k$，系数序列递减．

     由此可知，最大值在 $k=8$ 时取得．

4. 计算最大值：

   当 $k=8$ 时，$a_8={\text{C}}_{10}^8{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10-8}={\text{C}}_{10}^2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=45\times \frac{1}{9}=5$．

方法二：估算比较法（考场快解）

由于二项式系数 ${\text{C}}_{10}^k$ 在 $k=5$ 处最大，而 $(\frac{1}{3}{)}^{10-k}$ 随 $k$ 增大而增大，故最大值必在序列靠后的位置。

尝试计算 $k$ 较大的几项：

• $k=7:a_7={\text{C}}_{10}^7(\frac{1}{3}{)}^3=120\times \frac{1}{27}=\frac{40}{9}\approx 4.44$；

• $k=8:a_8={\text{C}}_{10}^8(\frac{1}{3}{)}^2=45\times \frac{1}{9}=5$；

• $k=9:a_9={\text{C}}_{10}^9(\frac{1}{3}{)}^1=10\times \frac{1}{3}=\frac{10}{3}\approx 3.33$．

  对比可知，各项系数的最大值为 $5$．

结论：

答案填入 $5$．

【解法三】写出通项 $T_{r+1}={\text{C}}_{10}^r{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10-r}{x}^r$ ，若第 $r+1$ 项的系数最大，则

若第$r+1$项的系数最大，则\left\{ \begin{align}& C_{10}^{r}{{(\frac{1}{3})}^{10-r}}\ge C_{10}^{r-1}{{(\frac{1}{3})}^{11-r}} \\& C_{10}^{r}{{(\frac{1}{3})}^{10-r}}\ge C_{10}^{r+1}{{(\frac{1}{3})}^{9-r}} \\\end{align} \right.，

解得 $r=8$ ，故系数最大值为 ${\text{C}}_{10}^8{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=5$

故答案为：5．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项公式的应用、离散序列的单调性判定。
2. 核心方法：相邻项比值法。
3. 易错点：混淆“二项式系数”（仅组合数）与“各项系数”（包含常数的幂）；求出指标 $k=8$ 后未代入计算具体数值，直接错填指标。。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材二项式定理章节中关于“求展开式系数最大项”的经典例题变式，旨在考查基本代数运算与不等式求解能力。
2. 结论推广: 对于通用模型 ${\left(\frac{1}{M}+x\right)}^n$ （ $M>0$ ），其各项系数递增的边界恒满足一阶控制线： $r⩽\frac{Mn-1}{M+1}$。代入本题 $M=3,n=10$，秒得 $r⩽7.25⟹r=8$ 取得最大值。
3. 方法推广: 相邻项作比法 $\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$ 是处理全正离散序列（如数列、概率分布、组合数序列）极值问题的最优通法，可平滑迁移至超几何分布或二项分布的概率最大值求解中。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-09
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1987-全国卷理-11 填-二项式展开式的系数