2024-甲卷理-23 解-不等式证明

本题导读

本题考查基本不等式。核心在于二次齐次化（平方和与和的关系）、绝对值三角不等式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）实数 $a,b$ 满足 $a+b⩾3$.

（1）证明：$2a^2+2b^2>a+b$；

（2）证明：$|a-2b^2|+|b-2a^2|⩾6$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明二次项大于一次项）：利用基本不等式变形得到 $2(a^2+b^2)⩾(a+b{)}^2$。结合已知条件 $a+b⩾3$，将 $(a+b{)}^2$ 降次转化为与 $a+b$ 相关的不等式完成放缩。
2. 第二问（绝对值不等式证明）：利用绝对值三角不等式 $|A|+|B|⩾|A+B|$。构造 $A=a-2b^2,B=b-2a^2$，整体相加可得 $|a+b-2(a^2+b^2)|$。利用第一问已证的 $2(a^2+b^2)>a+b$，判定绝对值内部为负，脱去绝对值符号后再次利用放缩结论与 $a+b⩾3$ 证明结果大于等于 6。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 由基本不等式可知： $a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}$ 所以： $2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)⩾2\cdot \frac{(a+b{)}^2}{2}=(a+b{)}^2$ 又因为 $a+b⩾3$， 所以： $(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)⩾3(a+b)$ 由于 $a+b⩾3>0$，则 $3(a+b)>a+b$ 恒成立。 故： $2a^2+2b^2⩾(a+b{)}^2⩾3(a+b)>a+b$ 即证得： $2a^2+2b^2>a+b$

（2）证明： 利用绝对值三角不等式 $|x|+|y|⩾|x+y|$，有： $|a-2b^2|+|b-2a^2|⩾|(a-2b^2)+(b-2a^2)|=|(a+b)-2(a^2+b^2)|$ 由（1）的结论可知：$2(a^2+b^2)>a+b$， 所以绝对值内部式子为负，即 $(a+b)-2(a^2+b^2)<0$。 脱去绝对值符号得： $|(a+b)-2(a^2+b^2)|=2(a^2+b^2)-(a+b)$ 再次由（1）中的推导可知：$2(a^2+b^2)⩾(a+b{)}^2$， 所以： $2(a^2+b^2)-(a+b)⩾(a+b{)}^2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)$ 因为已知条件 $a+b⩾3$， 所以 $a+b-1⩾2$。 则： $(a+b)(a+b-1)⩾3\times 2=6$ 故证得： $|a-2b^2|+|b-2a^2|⩾6$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角不等式的性质应用、基本不等式 $a^2+b^2⩾\frac{(a+b{)}^2}{2}$ 的简化放缩。
2. 核心方法：递进证明法。高考不等式选讲第二问绝大多数是第一问结论的延伸，本题巧妙利用第一问确定绝对值内部的正负号，从而顺利脱去绝对值。
3. 避坑指南：

• 第一问的严谨性：注意证明目标是“严格大于（ $>$ ）”。基本不等式取等条件为 $a=b=1.5$，此时 $2(1.5^2+1.5^2)=9$， $1.5+1.5=3$，显然 $9>3$，必须通过 $3(a+b)>a+b$ 这步逻辑体现出严格的不等关系，切忌直接写 $⩾$ 导致逻辑瑕疵。
• 绝对值脱壳正负：第二问去掉绝对值时，若不借用第一问判定正负号而盲目平方，将陷入极度复杂的四次多项式泥潭导致彻底崩盘。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值三角不等式 $|a|+|b|⩾|a\pm b|$ 是选修 4-5 的核心母题，本题源自教材课后习题“基本不等式与绝对值不等式”的融合变式。
2. 结论推广: 面对结构对称、分段复杂的绝对值求最值或证明题，首选策略是寻找内部代数项的“和”或“差”。只要能通过加减法消去部分杂项，使其退化为已知约束条件（如 $a+b$ ），即可直接打通几何与代数的壁垒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-04 单-绝对值不等式
• 2002-苏豫粤卷-03 单-绝对值不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式