2025-天津卷-06 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和及其绝对值数列的求和问题.关键在于通过 $S_n$ 确定通项公式 $a_n$，并判定数列项的正负转折点，从而将绝对值求和转化为分段求和，是天津卷数列板块的经典考题.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=-n^2+8n$，则数列 $\{|a_n|\}$ 的前 12 项和为 ()

A. $112$　　　　　　B. $48$　　　　　　C. $80$　　　　　　D. $64$

🔍【思路分析】

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1. 求通项公式：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}(n⩾2)$ 与 $a_1=S_1$ 求出 $\{a_n\}$ 的通项公式.
2. 确定正负临界点：分析 $a_n$ 的符号。由于 $d=-2<0$，数列递减，需找到从哪一项开始数列项变为负数.
3. 分段求和：将 $\{|a_n|\}$ 的前 12 项和拆分为正数项和负数项两部分.
4. 利用 $S_n$ 简化：设前 $k$ 项为正，则总和 $T_{12}=S_k-(S_{12}-S_k)=2S_k-S_{12}$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1.求通项公式 $a_n$ 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=-1^2+8(1)=7$. 当 $n⩾2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=(-n^2+8n)-[-(n-1{)}^2+8(n-1)]$ $a_n=-n^2+8n-(-n^2+2n-1+8n-8)$ $a_n=-2n+9$. 验证：将 $n=1$ 代入 $a_1=-2(1)+9=7$，结论一致. 故通项公式为 $a_n=-2n+9$.

2.确定数列的正负 令 $a_n>0⟹-2n+9>0⟹2n<9⟹n⩽4.5$. 因此： 当 $n=1,2,3,4$ 时，$a_n>0$（具体值为 $7,5,3,1$）； 当 $n=5,6,\dots ,12$ 时，$a_n<0$（从 $-1$ 开始）.

3.计算绝对值数列的和 $T_{12}$ $T_{12}=|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_{12}|$ 根据正负分布拆分： $T_{12}=(a_1+a_2+a_3+a_4)+(-a_5-a_6-\cdots -a_{12})$ $T_{12}=S_4-(S_{12}-S_4)=2S_4-S_{12}$.

4.代入 $S_n$ 表达式计算 已知 $S_n=-n^2+8n$： $S_4=-4^2+8\times 4=-16+32=16$； $S_{12}=-12^2+8\times 12=-144+96=-48$. 代入公式： $T_{12}=2\times 16-(-48)=32+48=80$. 综上，故选： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 等差中项：$a_4+a_5=1+(-1)=0$.

• 数列单调性：$d<0$ 时数列递减.

2. 方法总结：

• 绝对值求和模型：对于等差数列，处理绝对值求和最快的方法是 $T_n=2S_k-S_n$（假设前 $k$ 项为正）。这种方法避免了逐项相加的繁琐计算。

• 通项判断：如果 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数且常数项为 0，则该数列一定是等差数列。若常数项不为 0，则该数列从第二项起为等差数列.

3. 避坑指南： 在确定 $k$ 值时，务必精确计算。例如本题中 $a_4=1,a_5=-1$，若误判 $k=5$，计算结果将产生偏差.

📖【试题探源与推广】

Tip

1.结论的推广: 若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1<0$ 且公差 $d>0$，则 $|a_1|+\cdots +|a_n|=S_n-2S_k$（其中前 $k$ 项为负）. 2. 方法的推广: 函数对称性：$S_n=-n^2+8n$ 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为 $n=4$。这解释了为什么 $S_4$ 是最大值，且 $a_4,a_5$ 关于 0 对称.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-04 单-数列单调性
• 2014-江西卷理-18 解-等差数列定义与通项公式
• 2021-天津卷-19 解-数列综合