2025-新高考II卷-03 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算。核心意图是要求学生先通过求解一元三次方程确定集合 $B$ 的元素，再与已知集合 $A$ 进行比对，找出共同元素.

📌【题干】

Question

（2025年新高考II卷）已知集合 $A=\{-4,0,1,2,8\}$，$B=\{x\mid x^3=x\}$，则 $A\cap B=()$

A. $\{0,1,2\}$　　　　B. $\{1,2,8\}$　　　　C. $\{2,8\}$　　　　D. $\{0,1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程求集合 $B$：解方程 $x^3=x$ 得到集合 $B$ 的所有元素.注意不能通过直接约去 $x$ 的方式求解，以免漏掉零根.

2. 求交集：根据交集的定义 $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$，比对两个集合的公共元素.

3. 匹配选项：得出最终集合结果.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定集合 $B$ 的元素 解方程 $x^3=x$： 移项得：$x^3-x=0$ 提公因式：$x(x^2-1)=0$ 进一步分解：$x(x-1)(x+1)=0$ 解得：$x_1=0,x_2=1,x_3=-1$ 故集合 $B=\{-1,0,1\}$.

第二步：计算交集 $A\cap B$ 已知 $A=\{-4,0,1,2,8\}$， 比对元素：

• $-4\in A$ 但 $-4\notin B$
• $0\in A$ 且 $0\in B$
• $1\in A$ 且 $1\in B$
• $2\in A$ 但 $2\notin B$
• $8\in A$ 但 $8\notin B$ 所以 $A\cap B=\{0,1\}$.

故选：D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的交集基本运算、一元高次方程的因式分解.

2. 核心方法：方程求解与元素比对法。处理此类“描述法”与“列举法”混合的集合交并补运算时，首要任务是将描述法中的代数条件（方程、不等式）彻底解出来，将其转化为直观的数字阵列.

3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（方程约分导致漏根）：在求解 $x^3=x$ 时，部分同学容易犯“两边同除以 $x$ 得到 $x^2=1$”的代数初级错误，从而把极其关键的零根 $x=0$ 漏掉。务必牢记：除非确定未知数不为 0，否则方程两边绝不能盲目约去含未知数的因式，必须移项提取公因式.
• 避坑指南 2（看错符号或多选元素）：方程的根包含 $-1$，虽然 $-1$ 属于集合 $B$，但它并不在集合 $A$ 中。若粗心将 $-1$ 与 $A$ 中的 $-4$ 或 $2$ 发生视觉混淆，极易错选成其他带有 3 个元素的选项（如 A 选项）.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中“集合的基本运算”的经典课后习题变体。命题人通过融入初中及高一衔接处的核心代数技能（高次方程因式分解），在考查集合符号的同时，对考生的基础运算细心度进行了微型筛选.

2. 结论推广（代数中的“幂等”与“不动点”本质）： 在近现代数学和函数论中，方程 $x^3=x$ 可以看作是函数 $f(x)=x^3$ 的**不动点（Fixed Point）求解，或者看作某种环与域结构中的“幂等元”**推广.

• 满足 $x^n=x$ （ $n$ 为大于 1 的正整数）的实数解在实数域 $\mathbb{R}$ 内具有极强的对称性.

• 当 $n$ 为奇数时（如本题 $n=3$），由于负数的奇数次方仍为负，其方程 $x^n-x=0⟹x(x^{n-1}-1)=0$ 在实数范围内恒有且仅有三个实根： $\{-1,0,1\}$.

• 当 $n$ 为偶数时（如 $x^2=x$），由于负数的偶数次方变为正，其方程在实数范围内仅有两个实根： $\{0,1\}$. 将这一代数特征收录在文献库中，未来再遇到形如 $\{x\mid x^5=x\}$ 的集合，即可直接盲写出其元素为 $\{-1,0,1\}$，实现秒杀.

3. 方法推广（交集运算的程序化核对）： 在面对元素较多或带有符号干扰的离散集合交集问题时，推荐使用**“划线过滤法”**：在草稿纸上列出两个集合，从元素较少的集合（如本题 $B$）出发，逐个在较长的集合（如 $A$）中检索。若存在则圈出，若不存在则划去。这种程序化的核对习惯是确保客观题前 5 题达成“零失误”的刚性保障.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-01 单-集合交集
• 2013-四川卷理-01 单-集合交集
• 2013-天津卷理-01 单-集合交集