2026-上海卷-09 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的取值分布问题。核心在于建立前 $n$ 项和 $S_n$ 关于公差 $d$ 的函数表达式，并根据 $S_n$ 在开区间 $(0,1)$ 内至少有两个项的几何限制，对公差 $d$ 的正负性以及项的标号进行归纳与不等式求解。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）等差数列 $\{a_n\}$， $a_1=0$，公差为 $d$， $\{S_n\}$ 在区间 $(0,1)$ 上至少有两个项，则公差 $d$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出前 $n$ 项和的表达式：已知 $a_1=0$，利用等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 得到 $S_n=\frac{n(n-1)}{2}d$。
2. 分析 $S_n$ 的项特征：

• 当 $n=1$ 时， $S_1=a_1=0$，不在区间 $(0,1)$ 内。
• 当 $n\ge 2$ 时， $\frac{n(n-1)}{2}>0$。因此，要使 $S_n\in (0,1)$，公差 $d$ 必须大于 0。

3. 转化至少有两个项的条件：因为 $d>0$ 时，系数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 随 $n$ 的增大而严格单调递增，故 $\{S_n\}$ （从 $n=2$ 开始）是一个递增数列。 要使区间 $(0,1)$ 内至少有两个项，最先进入区间的两项必然是最小的两项，即 $S_2$ 和 $S_3$。
4. 列出不等式组：满足条件等价于 $S_2>0$ 且 $S_3<1$，由此解出 $d$ 的取值范围。

✅【答案】

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$\left(0,\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

因为等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=0$，公差为 $d$， 所以其前 $n$ 项和公式为： $S_n=n\cdot 0+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{n(n-1)}{2}d$

列举数列的前几项： $S_1=0$ $S_2=\frac{2\times 1}{2}d=d$ $S_3=\frac{3\times 2}{2}d=3d$ $S_4=\frac{4\times 3}{2}d=6d$

若 $d\le 0$，当 $n\ge 2$ 时， $S_n\le 0$，此时 $\{S_n\}$ 中没有任何项能落在区间 $(0,1)$ 内，不符合题意。 因此必须有 $d>0$。

当 $d>0$ 时，由于 $\frac{n(n-1)}{2}$ 随 $n$ 的增大而严格增大， 所以数列 $\{S_n\}$ 满足： $S_1<S_2<S_3<S_4<\cdots$ 若要使数列 $\{S_n\}$ 在区间 $(0,1)$ 上至少有两个项， 由于 $S_1=0$ 不在区间内，则进入该区间的前两项必须是 $S_2$ 和 $S_3$。 也就是说， $S_2$ 和 $S_3$ 均要在区间 $(0,1)$ 内。

由于数列是单调递增的，只需保证较小的 $S_2>0$ 且较大的 $S_3<1$ 即可： $\{\begin{array}{l}{S}_2>0\\ S_3<1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}d>0\\ 3d<1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}d>0\\ d<\frac{1}{3}\end{array}$ 解得 $d$ 的取值范围是： $\left(0,\frac{1}{3}\right)$

故答案为 $\left(0,\frac{1}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和的代数结构；数列的单调性与区间分布问题的转化。
2. 核心方法：首端临界项控制法。
3. 避坑指南：误认为落在区间内的项可以是任意两项。需注意当 $d>0$ 时数列已经固定具有单调性，不可能出现 $S_2$ 在区间外而 $S_3,S_4$ 在区间内的情况，因而边界只能由 $S_3$ 压制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将等差数列前 $n$ 项和公式与集合区间的存在性问题相结合，考查学生对递增数列临界状态的解析能力。
2. 结论推广：若等差数列 $a_1=0,d>0$，其前 $n$ 项和 $\{S_n\}$ 在开区间 $(0,M)$ 上至少有 $k$ 个项（$k\ge 1$），则该区间的限制完全由第 $1+k$ 项决定。由于进入区间的项为 $S_2,S_3,\cdots ,S_{k+1}$，故不等式恒为： $S_{k+1}<M⟹\frac{(k+1)k}{2}d<M⟹0<d<\frac{2M}{k(k+1)}$ 本题中 $M=1,k=2$，代入可直接求得上限为 $\frac{2\times 1}{2\times 3}=\frac{1}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2014-江西卷文-13 填-等差数列
• 1977-江苏卷-01(6)