2026-上海卷-13 单-分数指数幂

本题导读

本题考查根式与分数指数幂的互化以及同底数幂的乘法运算。核心在于将三次方根形式转化为分数指数幂，再通过“底数不变，指数相加”的法则进行化简。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）$a$ 为不为 1 的任意实数，则 $a\cdot \sqrt[3]{a}=$ ()

A. $a^{\frac{3}{2}}$　　　　　　B. $a^{\frac{4}{3}}$　　　　　　C. $a^{\frac{5}{2}}$　　　　　　D. $a^{\frac{5}{3}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根式化为分数指数幂：根据分数指数幂的定义， $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$，将 $\sqrt[3]{a}$ 表示为 $a^{\frac{1}{3}}$。
2. 同底数幂相乘：将 $a^1$ 与 $a^{\frac{1}{3}}$ 相乘，利用运算法则 $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 将指数进行加和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为： $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$ 所以： $a\cdot \sqrt[3]{a}=a^1\cdot a^{\frac{1}{3}}$ 则： $a^1\cdot a^{\frac{1}{3}}=a^{1+\frac{1}{3}}=a^{\frac{4}{3}}$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数指数幂的定义（$\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$）；同底数幂乘法的指数加法法则。
2. 核心方法：指数化简齐次合并法。
3. 避坑指南：混淆乘法与乘方运算法则。避免将指数相加错算为指数相乘（如错算成 $1\times \frac{1}{3}$ 或误记为根式与指数的其他错误对应）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考上海卷的选择题基础题，直接考查必修课程中指数与指数函数模块的核心运算基本功。
2. 结论推广：对于任意非零实数 $a$（在底数有意义的前提下），一般的根式乘积结构可推广为： $a^k\cdot \sqrt[n]{a^m}=a^{k+\frac{m}{n}}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-02
• 1977-天津-01(3)
• 1977-江苏卷-01(1)