2026-北京卷-09 单-不等式的性质

本题导读

本题考查将实际情境抽象为多元一次不等式组，并利用同向不等式可加性消去中间变量，锁定目标变量间的确定大小关系。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往. 已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则()

A. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数

B. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数

C. 去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数

D. 去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 字母建模：设去甲地的高一、高二学生人数分别为 $x,u$，去乙地的高一、高二学生人数分别为 $y,v$。
2. 列不等式组：由题意得 $\{\begin{array}{l}x+y>u+v\\ x+u>y+v\end{array}$。
3. 同向相加消元：两式均为“$>$”，可直接相加，恰好消去中间变量 $y,u$，得到只含 $x,v$ 的不等式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设去甲地的高一、高二学生人数分别为 $x,u$，去乙地的高一、高二学生人数分别为 $y,v$。 由题意可得： $\{\begin{array}{l}x+y>u+v(1)\\ x+u>y+v(2)\end{array}$

由于两个不等式的不等号方向相同（均为 $>$），将两式相加： $(x+y)+(x+u)>(u+v)+(y+v)$ 化简得： $2x+y+u>y+u+2v⟹2x>2v⟹x>v$

其中 $x$ 表示“去甲地的高一学生人数”， $v$ 表示“去乙地的高二学生人数”，因此 $x>v$ 的语义为：去甲地的高一学生多于去乙地的高二学生。该结论必然成立。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多元一次不等式的同向可加性（$a>b,c>d⟹a+c>b+d$）；多变量不等式组的代数消元。
2. 核心方法：同向相加组合消元法。
3. 避坑指南：切忌对不等式作“相减”运算。由 $A>B,C>D$ 无法推出 $A-C>B-D$，相减会使符号不确定而产生伪结论；只能将同向不等式相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是“不等式性质”模块的典型高考情境题，考查学生剥离生活背景、建立代数模型并精准消元的能力。
2. 结论推广：一般地，对形如 $\sum c_i{x}_i>0$ 的一阶线性约束，其所有被严格蕴含（必真）的新不等式，只能通过已知不等式各乘非负系数后叠加得到。本题取系数 $(1,1)$ 恰好消去不关心的中间变量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-02 单-充分条件与必要条件的判定
• 1993-旧高考理-10
• 2002-新课标理-09 单-对数函数的图像与性质