2026-天津卷-04 单-函数图像

本题导读

本题考查通过函数图象识别函数解析式的能力。核心在于利用图象的对称性（奇偶性特征）以及局部区间内函数值的正负号符号特征，对选项进行快速排除与锁定。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）函数 $f(x)$ 的部分图象如图所示，则 $f(x)$ 的解析式可能为()

A. $x+\sin \pi x$　　　　　B. $x-\sin \pi x$　　　　　C. $-x+\sin \pi x$　　　　　D. $x\cdot \sin \pi x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：分析奇偶性：观察图象，图象关于原点对称，说明该函数为奇函数。由此可以检验各选项的奇偶性，排除非奇函数。
2. 第二步：分析局部趋势与符号特征：

• 当 $x\in (0,1)$ 的左侧一部分区域时，图象位于 $x$ 轴上方，即 $f(x)>0$。
• 观察图象在 $x\to 1^{-}$ 时的表现，图象穿过 $x$ 轴进入 $x$ 轴下方，即 $f(x)<0$。利用特殊点（如 $x=1$ 或接近 1 的取值）的函数值正负号进行精细比对。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

观察函数图象，其关于原点中心对称，因此 $f(x)$ 必须为奇函数。

• A 选项： $f(-x)=-x+\sin (-\pi x)=-(x+\sin \pi x)=-f(x)$，为奇函数；
• B 选项： $f(-x)=-x-\sin (-\pi x)=-(x-\sin \pi x)=-f(x)$，为奇函数；
• C 选项： $f(-x)=-(-x)+\sin (-\pi x)=x-\sin \pi x=-(-x+\sin \pi x)=-f(x)$，为奇函数；
• D 选项： $f(-x)=(-x)\cdot \sin (-\pi x)=(-x)\cdot (-\sin \pi x)=x\cdot \sin \pi x=f(x)$，为偶函数。 由此可直接排除 D 选项。

观察图象，当 $x=1$ 时，函数图象与 $x$ 轴相交或已穿过 $x$ 轴。 根据图象趋势，在 $x=1$ 处的函数值明显应满足 $f(1)\le 0$（图象在 $x=1$ 前后由正变负，且 $x=1$ 处的纵坐标不在最高点，而是处于负值区域或零点）。 我们将 $x=1$ 分别代入 A、B、C 三个选项中计算：

• A 选项： $f(1)=1+\sin \pi =1+0=1>0$，与图象不符，排除；
• B 选项： $f(1)=1-\sin \pi =1-0=1>0$，与图象不符，排除；
• C 选项： $f(1)=-1+\sin \pi =-1+0=-1<0$，符合图象在 $x=1$ 处小于 0 的特征。

为了进一步验证 C 选项在 $x\in (0,1)$ 上的局部正负号： 当 $x$ 接近 0 且 $x>0$ 时，根据利用近零极限或导数： $f^{\prime }(0)=-1+\pi \cos (0)=\pi -1>0$。 由于导数大于 0，函数在 $x=0$ 右侧附近单调递增，函数值变为正数，这完美契合了图象在原点右侧先向上凸起为正值的几何特征。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：常见基本初等函数组合的奇偶性特征（奇$\pm$奇$=$奇，奇$\times$奇$=$偶）；函数零点与区间正负号的数形结合。
2. 核心方法：特征筛选排除法。
3. 避坑指南：部分学生容易仅凭 $x$ 轴上的标注“1”误认为 $x=1$ 是函数的最高点（波峰）。需仔细观察图象：最高点在 0 到 1 之间，而到了 $x=1$ 处图象已经大幅下坠至 $x$ 轴下方。通过准确识读 $f(1)<0$ 是本题快速破题的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查图象识别，是高考天津卷选择题前半段的必考题型。侧重于多角度（对称性、单调性、特殊值、零点）综合定性分析，而非复杂的定量作图。
2. 结论推广：对于形如 $f(x)=kx+\sin \pi x$ 的函数：

• 当 $k>\pi$ 时，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；
• 当 $0<k<\pi$ 时，函数在原点附近单调递增，但会随着正弦波发生波动；
• 当 $-\pi <k<0$ 时（如本题 $k=-1$），只要 $|k|<\pi$，在 $x=0$ 处的导数 $f^{\prime }(0)=k+\pi >0$，函数在原点右侧一定先正后负，其波形特征完全由其一次项系数与三角项系数的对抗关系决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16