2026-天津卷-06 单-幂指对

本题导读

本题考查对数与指数幂的大小比较。核心在于利用对数的性质及绝对值的定义，将 $f(x)=|\ln x|$ 转化为不含绝对值的纯代数表达式，然后再利用对数的换底公式与对数函数的单调性，对三个指数幂的实数值大小进行统一比较。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）已知函数 $f(x)=|\ln x|$.若 $a=f(2^{0.3})$， $b=f(3^{0.3})$， $c=f(3^{-0.5})$，则 $a,b,c$ 的大小关系为()

A. $a<b<c$　　B. $b<a<c$　　C. $c<b<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：化简 $a,b,c$ 的代数表达式： 将各变量代入 $f(x)=|\ln x|$。利用对数的性质 $\ln x^k=k\ln x$ 以及绝对值符号，将指数项平移至对数项外部。

• 对于 $a$ 和 $b$，由于真数大于 1，对数值大于 0，绝对值符号可以直接去掉。
• 对于 $c$，由于真数的指数为负数，对数值小于 0，去掉绝对值时需要变为相反数（其代数实质是借用绝对值将负指数翻转为正指数）。

2. 第二步：统一比较基准： 将化简后的 $a,b,c$ 全部表示为具有正系数的形式： $a=0.3\ln 2$, $b=0.3\ln 3$, $c=0.5\ln 3$。
3. 第三步：两两比对得出结论：

• 比较 $a$ 与 $b$：两者的系数均为 0.3，直接利用 $\ln x$ 的单调递增性比较真数 2 与 3。
• 比较 $b$ 与 $c$：两者的对数底数和真数均为 $\ln 3$，直接比对外部系数 0.3 与 0.5。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据对数函数的性质，对任意的 $x>0$，有： $f(x)=|\ln x|$

我们将 $a,b,c$ 的自变量分别代入并进行化简：

• 对于 $a$： $a=f(2^{0.3})=|\ln 2^{0.3}|=|0.3\ln 2|$ 因为 $2>1$，所以 $\ln 2>0⟹0.3\ln 2>0$。 去掉绝对值符号得： $a=0.3\ln 2$

• 对于 $b$： $b=f(3^{0.3})=|\ln 3^{0.3}|=|0.3\ln 3|$ 因为 $3>1$，所以 $\ln 3>0⟹0.3\ln 3>0$。 去掉绝对值符号得： $b=0.3\ln 3$

• 对于 $c$： $c=f(3^{-0.5})=|\ln 3^{-0.5}|=|-0.5\ln 3|$ 因为 $-0.5\ln 3<0$，根据绝对值的定义 $|x|=-x$ （当 $x<0$ 时）： $c=-(-0.5\ln 3)=0.5\ln 3$

现在对 $a,b,c$ 进行大小比较：

1. 比较 $a$ 与 $b$： 因为 $2<3$，且自然对数函数 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增， 所以 $\ln 2<\ln 3$。 两边同时乘以正数 0.3 得： $0.3\ln 2<0.3\ln 3⟹a<b$

2. 比较 $b$ 与 $c$： 因为 $3>1⟹\ln 3>0$，且前面的系数满足 $0.3<0.5$， 所以： $0.3\ln 3<0.5\ln 3⟹b<c$

综合上述两个不等式，可得 $a,b,c$ 的大小关系为： $a<b<c$

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数幂的提前性质（$\ln x^k=k\ln x$）；对数绝对值函数关于 $x=1$ 的图象翻转特征（$|\ln x|=|\ln \frac{1}{x}|$）；对数函数的单调性。
2. 核心方法：同底/同指系数化简法。
3. 避坑指南：在化简 $c$ 时易错。部分学生容易直接写成 $c=-0.5\ln 3$，从而误认为 $c$ 是负数，导致将其排在最前面。需要切记，由于带了绝对值符号， $f(x)$ 的输出值在定义域内恒非负，算出的 $c$ 必须是个正数（即 $0.5\ln 3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷经典的选择题中段题（第 6 题左右），主要考查新教材必修第一册中对数函数与指数幂大小比较的基本功。
2. 结论推广：函数 $f(x)=|\ln x|$ 具有特殊的对偶对称性，即 $f(x)=f(\frac{1}{x})$。利用这一性质，本题中 $c=f(3^{-0.5})=f((3^{-0.5}{)}^{-1})=f(3^{0.5})$。 此时，三个量可以统一转化为同一函数下的自变量输入： $a=f(2^{0.3}),b=f(3^{0.3}),c=f(3^{0.5})$ 由于当 $x>1$ 时， $f(x)=\ln x$ 严格单调递增，比较 $a,b,c$ 实际上等价于直接比较三个底数/指数项的大小：

• 比较 $2^{0.3}$ 与 $3^{0.3}$：指数相同，底边 $2<3⟹2^{0.3}<3^{0.3}$；
• 比较 $3^{0.3}$ 与 $3^{0.5}$：底数相同且大于 1，指数 $0.3<0.5⟹3^{0.3}<3^{0.5}$。 直接得出自变量大小为 $2^{0.3}<3^{0.3}<3^{0.5}$，由单调性直接秒杀得到 $a<b<c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2013-新课标II卷理-08 单-对数运算
• 1990-上海卷-18 单-对数的大小比较