2026-新高考II卷-05 单-棱台体积

本题导读

本题考查棱台体积的计算。核心意图在于测试学生对棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)$ 的记忆与应用，以及利用几何条件准确计算上下底面（菱形）面积的基础运算能力。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知棱台上、下底面均为有一个内角是 $60^{\circ }$ 的菱形，且上、下底面边长分别为 2 ， 3，该棱台的高为 $\sqrt{3}$，则其体积为()

A. $\frac{19}{12}$　　　　　　B. $\frac{19}{6}$　　　　　　C. $\frac{19}{4}$　　　　　　D. $\frac{19}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用平行四边形（菱形）的面积公式 $S=a^2\sin \theta$，分别求出上底面面积 $S_1$ 和下底面面积 $S_2$。
2. 第二步逻辑：将求得的底面积 $S_1,S_2$ 以及已知的高 $h=\sqrt{3}$ 统一带入标准的棱台体积计算公式中。
3. 第三步逻辑：进行精确的根式与分式代数化简，对照选项得出正确选项。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，上下底面均为有一个内角是 $60^{\circ }$ 的菱形。

• 上底面：边长 $a_1=2$，面积为： $S_1=a_1^2\sin 60^{\circ }=2^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
• 下底面：边长 $a_2=3$，面积为： $S_2=a_2^2\sin 60^{\circ }=3^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=9\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{S_1{S}_2}=\sqrt{2\sqrt{3}\times \frac{9\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{9\times (\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

棱台体积公式为： $V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2\right)$ 将 $h=\sqrt{3}$ 以及 $S_1,S_2,\sqrt{S_1{S}_2}$ 的值代入公式： $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \left(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)$ $V=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \left(5\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{19\sqrt{3}}{2}$ $V=\frac{19\times (\sqrt{3}{)}^2}{3\times 2}=\frac{19\times 3}{6}=\frac{19}{2}$

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由夹角确定的菱形面积计算；棱台体积公式中交叉项 $\sqrt{S_1{S}_2}$ 的化简。
2. 核心方法：公式代入法。
3. 避坑指南：

• 体积公式记错陷阱：部分学生容易将棱台体积公式错记成中截面平均公式 $V=\frac{S_1+S_2}{2}h$（这其实是梯形面积公式在立体几何中的错误想当然外推），或者是漏掉中间的交叉项 $\sqrt{S_1{S}_2}$，从而导致错选。牢记台体公式的“不均匀性修正项”是两底面面积的几何平均值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是空间几何体板块的经典大纲必考题，旨在考查学生对多面体中台体体积计算这一高频考点的掌握情况。
2. 结论推广： 对于所有上、下底面互为相似多边形（相似比为 $k=\frac{a_1}{a_2}$）的相似棱台或圆台，由于面积比等于相似比的平方，即 $S_2=\frac{a_2^2}{a_1^2}{S}_1$，代入后可发现体积通式可直接转化为基于单一底面积与边长比的优化计算公式： $V=\frac{1}{3}h\cdot S_1\left[1+\frac{a_2}{a_1}+{\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^2\right]$ 将本题数据 $a_1=2,a_2=3,S_1=2\sqrt{3},h=\sqrt{3}$ 直接代入该推广通式： $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \left[1+\frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right]=2\times \left(1+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)=2\times \frac{19}{4}=\frac{19}{2}$ 利用该结论，此类相似棱台体积问题可免除繁琐的两次根面积计算，直接通过边长比例系数一步输出答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-河北卷-06
• 1991-全国卷理-18
• 1994-全国卷理-07