2026-新高考I卷-13 填-正弦函数的性质

本题导读

本题考查正弦型函数的奇偶性与单调性综合分析。核心意图在于测试学生利用偶函数性质确定初相 $\theta$ 的值，并结合给定区间上的单调性约束，推导频率参数 $a$ 的取值，最终完成函数值的精确定量计算。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）已知 $f(x)=2\sin (ax+\theta )$ （ $a\in \mathbf{Z}$ ， $0⩽\theta <2\pi$ ）是偶函数，$f(x)$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递增，则 $\theta =$ $\underline{}$ ， $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（确定 $\theta$）：若 $f(x)=2\sin (ax+\theta )$ 为偶函数，则其在 $x=0$ 处必须取得极大值或极小值。根据正弦函数性质，必有 $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$。结合 $\theta \in [0,2\pi )$ 的范围，对 $k$ 分类讨论，确定对应的解析式简化为余弦型函数。
2. 第二步逻辑（确定 $a$）：将化简后的余弦函数代入区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的单调递增条件。利用余弦函数的单调区间公式，建立关于参数 $a$ 的不等式组。结合 $a\in \mathbf{Z}$ 锁定唯一的整数 $a$。
3. 第三步逻辑（求函数值）：将确定的 $a$ 与 $\theta$ 代回原函数，得到完整的解析式，代入 $x=\frac{2\pi }{3}$ 进行特殊三角函数值计算。

✅【答案】

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第一空 $\frac{3\pi }{2}$；第二空 $1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=2\sin (ax+\theta )$ 是偶函数，所以对定义域内的任意 $x$，恒有 $f(-x)=f(x)$，即： $2\sin (-ax+\theta )=2\sin (ax+\theta )$ 令 $x=0$ 代入上式可得： $\sin \theta =\sin \theta$。 利用偶函数导数在原点为0（或在 $x=0$ 处取得极值点）： $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

因为已知 $0\le \theta <2\pi$，故 $k$ 只能取 $0$ 或 $1$：

• 当 $k=0$ 时， $\theta =\frac{\pi }{2}$。此时 $f(x)=2\sin \left(ax+\frac{\pi }{2}\right)=2\cos (ax)$。
• 当 $k=1$ 时， $\theta =\frac{3\pi }{2}$。此时 $f(x)=2\sin \left(ax+\frac{3\pi }{2}\right)=-2\cos (ax)$。

已知 $f(x)$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增。 若 $\theta =\frac{\pi }{2}$， $f(x)=2\cos (ax)$。 (1) 若 $a=0$， $f(x)=2$ 为常数函数，不具备单调性，舍去。 由余弦函数的对称性， $\cos (ax)=\cos (-ax)$，此处不妨先设 $a>0$。 函数 $y=2\cos (ax)(a>0)$ 的单调递增区间满足： $\pi +2k\pi \le ax\le 2\pi +2k\pi ⟹\frac{\pi +2k\pi }{a}\le x\le \frac{2\pi +2k\pi }{a}(k\in \mathbf{Z})$ 要使 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 是其单调递增区间的子集， 当 $k=-1$ 时： $-\frac{\pi }{a}\le x\le 0(\text{不包含正区间})$ 当 $k=0$ 时，增区间为 $\left[\frac{\pi }{a},\frac{2\pi }{a}\right]$。要包含 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，左端点必须满足 $\frac{\pi }{a}\le 0$， 这与 $a>0$ 矛盾。 若设 $a<0$，同理无法满足在临近 0 的右侧区间递增。 因此， $\theta =\frac{\pi }{2}$ 情况下无解。

(2)若 $\theta =\frac{3\pi }{2}$， $f(x)=-2\cos (ax)$。 同样由偶函数性质，不妨设 $a>0$。 由于前方带有负号，函数 $f(x)=-2\cos (ax)$ 的单调递增区间恰好对应 $y=\cos (ax)$ 的单调递减区间： $2k\pi \le ax\le \pi +2k\pi ⟹\frac{2k\pi }{a}\le x\le \frac{\pi +2k\pi }{a}(k\in \mathbf{Z})$ 要使区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 成为其单调递增区间的子集，只需取 $k=0$ 时的基础区间 $\left[0,\frac{\pi }{a}\right]$。 由区间包含关系，必须满足： $\frac{\pi }{a}\ge \frac{\pi }{2}⟹a\le 2$ 因为 $a>0$ 且 $a\in \mathbf{Z}$，所以 $a$ 的可能取值为 $1$ 或 $2$。

• 当 $a=1$ 时，增区间为 $[0,\pi ]$，完全包含 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，符合题意。
• 当 $a=2$ 时，增区间为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，恰好覆盖 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，符合题意。 将 $a=2,\theta =\frac{3\pi }{2}$ 代入原函数（或直接使用化简式 $f(x)=-2\cos (2x)$）： $f(x)=-2\cos (2x)$ 将 $x=\frac{2\pi }{3}$ 代入解析式： $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-2\cos \left(2\times \frac{2\pi }{3}\right)=-2\cos \frac{4\pi }{3}$ 利用三角函数诱导公式化简 $\cos \frac{4\pi }{3}$： $\cos \frac{4\pi }{3}=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ 即 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=1$

正确答案： 第一空： $\frac{3\pi }{2}$ 第二空： $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数通过诱导公式向余弦型偶函数的转化；复合三角函数在原点邻域内的单调区间边界控制。
2. 核心方法：分类讨论法、区间包含法。
3. 避坑指南：

• 初相多解漏判定陷阱：很多学生在算偶函数时只想到 $\theta =\frac{\pi }{2}$，从而在第二步计算单调性时发现无法在 $(0,\cdot )$ 邻域内递增，导致卡壳。务必牢记正弦函数化为偶函数有两个相位方向（波峰与波谷），当前方系数不确定时， $\frac{3\pi }{2}$ 对应的反向余弦往往才是符合单调性要求的正确解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为 2026 年新高考Ⅰ卷填空题的第二题（第 13 题），属于经典的三角函数性质双空题，旨在考查数形结合的基本功。
2. 结论推广： 对于所有形如 $f(x)=A\sin (\omega x+\theta )(\omega >0)$ 的命题：

• 若 $f(x)$ 为偶函数且在 $(0,\cdot )$ 右侧邻域内单调递增，则其在 $x=0$ 处必须取得全局最小值。这意味着初始相位强制锁定为 $\theta =\frac{3\pi }{2}$，函数退化为 $f(x)=-A\cos (\omega x)$。

• 其首个完整递增区间为 $\left[0,\frac{\pi }{\omega }\right]$。若已知在 $(0,m)$ 内单调递增，则边界满足 $\frac{\pi }{\omega }\ge m⟹\omega \le \frac{\pi }{m}$。 利用这一结论，可直接跳过所有单调区间的繁琐代入，实现对所有此类三角函数性质题的快速降维求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式