18.15 斜率双用

🟦 斜率双用

1. 点差法与斜率双用

椭圆弦斜率（点差法）

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1$，弦 $AB$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=-\frac{{\mathbf{b}}^2({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)}{{\mathbf{a}}^2({\mathbf{y}}_1+{\mathbf{y}}_2)}$

核心模型

过二次曲线 $C$ 上定点 $P(x_0,y_0)$ 作两直线交曲线于 $A,B$， 直线 $PA,PB$ 斜率 $k_1,k_2$ 满足： $\mathbf{m}({\mathbf{k}}_1+{\mathbf{k}}_2)+\mathbf{n}{\mathbf{k}}_1{\mathbf{k}}_2+\mathbf{p}=0$ 则直线 $AB$ 恒过定点。

典型条件：

${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }\left(\mathbf{\lambda }\ne \frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}\right)$

由点差法： $\{\begin{array}{l}{k}_{AP}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=-\frac{b^2(x_0+x_1)}{a^2(y_0+y_1)}\\ k_{BP}=\frac{y_2-y_0}{x_2-x_0}=-\frac{b^2(x_0+x_2)}{a^2(y_0+y_2)}\end{array}$

交叉相乘模式： $\{\begin{array}{l}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\left[-\frac{b^2(x_0+x_2)}{a^2(y_0+y_2)}\right]=\lambda \\ \frac{y_2-y_0}{x_2-x_0}\left[-\frac{b^2(x_0+x_1)}{a^2(y_0+y_1)}\right]=\lambda \end{array}$ 作差可得到 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$。

斜率之和情形

$\{\begin{array}{l}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{y_2-y_0}{x_2-x_0}=\lambda \\ -\frac{b^2}{a^2}\left(\frac{x_1+x_0}{y_1+y_0}+\frac{x_2+x_0}{y_2+y_0}\right)=\lambda \end{array}$ 通分作差得到 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$。

口诀：积式交叉，和商同型。

2. 斜率双用下的斜率异构

模型一：

椭圆与圆 联立曲线： $\{\begin{array}{l}{C}_1:\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1\\ C_2:{\mathbf{x}}^2+{\mathbf{y}}^2={\mathbf{b}}^2\end{array}$

模型二：

双曲线与圆 联立曲线： $\{\begin{array}{l}{C}_1:\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1\\ C_2:{\mathbf{x}}^2+{\mathbf{y}}^2={\mathbf{a}}^2\end{array}$

核心结论

过两曲线公共点 $A$，作直线 $AM$ 交 $C_1$ 于 $M$，直线 $AN$ 交 $C_2$ 于 $N$，若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AM}}=\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{k}}_{\mathbf{AN}}\text{或}{\mathbf{k}}_{\mathbf{AM}}=-\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{k}}_{\mathbf{AN}}$ 则直线 $MN$ 恒过两曲线的另一个公共点。